非线性时间序列的高阶奇异谱分析.doc

非线性时间序列的高阶奇异谱分析 袁 　 坚 　 肖先赐 (电子科技大学电子工程系 , 成都 　 610054 (1997年 8月 28日收到 　　 基于反映线性相关结构的协方差矩阵的奇异谱分析 , 本质上是一种线性的方法 . 奇异谱 分析用于吸引子重构的可靠性问题引发了一些争议 . 相关等性质的高阶累积量 , . 通过对 H énon 映射和 Lorenz 模型的分析说明了该方法的有效性 , 有噪声的情况下表现出较好的鲁棒性 . PACC :0545 1　 引 言 对于不同系统产生的不规则动态行为解释为确定性的混沌过程 , 这一认识在几乎所 有学科中得到广泛的应用 . 而用动力系统方法分析非线性时间序列 , 状态空间的重构是必 不可少的一个步骤 . 从标量时间序列重构多维状态矢量的延迟坐标法 , 是在无法观测系统 各个变量情况下的一种折衷方法 . 延迟坐标间不可避免地存在着线性依赖及人为的对称 性 . Takens 的嵌入定理 [1]隐含着无噪声影响 , 且假设数据长度为无限长 . 这样对任意的延 时都不会导致重构的退化 . 而实际得到的时间序列是有限长度的 , 并且不可避免地受到噪 声的影响 . 延时选择过大或过小 , 都会导致噪声增强 [2]. 另外 , 当对分析的系统无任何先 验认识 , 无从得知其拓扑维数时 , 对嵌入维数的选择也成问题 . 基于多通道时间序列主元分析的奇异谱分析 (singular 2spectrum analysis ,SSA , 最先 由 Broomhead 和 K ing [1]引入非线性动力学领域 . 该方法一方面将延迟矢量变换到一正交 空间里 , 以消除坐标间的线性依赖及人为的对称性 ; 另一方面在奇异谱上区分出信号成分 及噪声平台 , 在确定出最小嵌入维数的基础上 , 一个维数等于最小嵌入维数的子空间内的 轨迹代表了信噪比增强的重构 . 但是 ,SSA 作为一种线性方法 , 其所用的协方差矩阵反映出的是线性相关的结构 , 而 无法反映内在的非线性关系 . 另外 , 一些实际的分析结果更加深了对这一方法的质 疑 [3— 5]. 文献 [2,6,7]对奇异谱方法作了详尽的分析和确认工作 . 并且针对 Palu 等 [5]用 SSA 研究 H énon 和 Lorenz 模型所提出的质疑 , 文献 [8,9]中分别指出了这是由于重构窗 口 (包括延时和嵌入维数 选择不当而导致的错误理解 . 我们在工作中也发现 , 在选择合适 的重构窗口前提下 ,Lorenz 模型的奇异谱分析是成功的 [10]. 然而对 H énon 模型无论选择 怎样的重构窗口 , 分析出的奇异谱都无法得到满意的结果 [3,5]. 奇异谱分析所用的属于二阶统计的协方差矩阵 , 体现的是线性相关 . 高阶统计作为一 第 47卷 第 6期 1998年 6月 100023290/98/47(6 /0897209物 　 理 　 学 　 报 ACTA PHYSICA SIN ICA Vol. 47,No. 6,J une ,1998ν1998Chin. Phys. S oc. 种非线性的信号处理工具 , 可以反映高阶相关的非线性关系 [11,12]. 从高阶统计的角度认 识混沌 , 不仅可以开发出更多的信息 , 而且也有助于从一个新的角度认识该现象 . 高阶统 计具有盲高斯噪声及体现非线性结构等性质 , 但与研究比较完善的二阶统计相比 , 尚缺少 物理性质的解释 . 而将其引入动力系统理论 , 更存在着用动力学语言难以描述的问题 . 高 阶统计用于混沌动力学研究的文献很少 , 见到的一篇是用高阶累积量估计重构延时 [13], 另一篇是利用三阶谱鉴别观测信号是否达到混沌状态 [14]. 而作为一种数字信号处理的新 手段 , 高阶统计在信号处理的各个领域得到了广泛的应用 [11]. 其中 , 阵列测向中用四阶累 积量进行奇异值分解 (SVD , 得到四阶子空间进行方向估计 , 比二阶的方法有着一些明显 特点 [15]. 由此也引发我们用高阶累积量分析混沌序列的高阶奇异谱分析的思路 . 本文提出了一种基于高阶累积的高阶奇异谱分析 (H 2SSA 方法 . 对 H énon 和 Logistic 等模型的分析说明 ,H 2SSA 是比 SSA , 、 嵌入维 数 、 . , 则它 . 这构成了将定性的动力学特点引入实验领域的技术基础 . 对 一个动力系统 d t =F (z , 我们将 Takens 的嵌入定理 [1]叙述如下 . 定理 (T akens 　 设 M 是 n 维的紧流形 . F 表示一个光滑的 (C 2 矢量场 , v 为 M 上的一 个光 滑 函 数 . 则 ΦF , v :M → R 2n +1, 表 示 ΦF , v