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次序
不定积分基本积分公式
不定积分第一换元法(凑微分法)
不定积分第二换元法
不定积分的倒数换元法
不定积分分部积分法
不定积分有理函数积分法
不定积分三角有理式的特殊情形
定积分的定义
定积分变上限积分
定积分的性质
定积分的换元法
定积分的分部积分法
利用对称性求定积分
定积分的应用
向量代数
其他类型习题
简称
上册下册讲义
上册
下册
讲义
刘光旭张效成赖学坚
刘光旭张效成赖学坚
薛运华赵志勇编著
〈〈高等数学习题课讲义》(第三版)上册
提示
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不7E积分基本积分公式
不定积分第一换元法(凑微分法)
1.如果被积函数中明显含有复合函数
,就能顺藤摸瓜,找到中间变量
也就是找到凑微分的对象。只要在被积函数中再找出
,就可以凑微分了
(允许差
个常倍数)。
倒
H 如果争甘
(电十1尸由
Zcij或者设(1工=三川『.[,控
, L 物 2ji + I |
2.如果复合函数不明显,但被积函数中有一个因子适合看成
PaOj
,也可以先凑微分,
的函数
再看剩余部分能否理解成
3.有些题则需要主动进行恒等变形,将被积函数中分解成
_ 1 rd(l 十 sin 卫)_ 1 Td( 1 — sm x)
2 J 1 + sin 工 2 J I - b■泊 J?
1 i
CDS X
+ C = In sec Jt ? tan r + C.
=In
讲义 112 页 14.2(9)
006
解题思路如下
008
分子分母同时乘以 x, xdx凑微分
也可以直接令t=
如果把x换成tant呢?估计也行。
011
H近[31侦户
- — 1) — 1 - —■ mV '?
/ -t1
=3「.财-5?%站%伊'+力七产)化
012 上册 200 页 A1(62)
用百M斛彩审掀衣 酉佑
013
f _J2L^ d (利潟 也=隔修
022
先通分,然后注意到
的导数,
是f的导数
可以通过商的导数公式凑出来
不定积分第二换元法
以去掉根号,简化运算为最终目的,其他的都是手段 总结规律是为了提高尝试的成功率
熟练掌握后,什么招好使就使什么招,规律也有例外
003
028 上册 198 页 A1(16)
1 fl叫I Sect以代奴十 土归烈 X V板OMeU
1 fl
叫
I Sect
J'认史二弋"=加&也f 6
上面的解答有点小问题
还可以这样
因为不定积分是在某个区间内求原函数,两种区间只能取其中一个(也可以是子区间) ,所
以也可以不讨论。
假设换个题,被积函数处处有定义,就得注意讨论了。中,x<-1时,这两个C不相等,前一个叫C1比较好。如果是用表示原函数,
假设换个题,被积函数处处有定义,就得注意讨论了。
中,
x<-1时,这两个
C不相等,前一个叫
C1比较好。
如果是用
表示原函数,
则必须分类讨论了。
因为有x的奇数次方,
这样更省事。
032
035讲义习题15.2(7)
还要把t换回x
041
,可以算,但很麻烦令t=
,可以算,但很麻烦
所以选取以下做法
不定积分的倒数换元法
024 上册 200 页(63)
一 dx
xR牛 Rv-i
—i r
u 乂,球应
udti
_日仁 44 —
忘了 +C
不定积分分部积分法
u(x),剩下的凑成dv
u(x),剩下的凑成dv
解方程的例子:
例14 2求不定枳分J寸程二祐丁 (a > Q), 解利用分部税分,南
例
L*J w- jrrFr
计算不定积分「
衣吹顷T \/1 + X2
arrtnn r
移项整理得
xearctan r
抽象函数的例子:
抵消的例子:
048上册201页A2
2,设 E 是/(尤)的一个原函数,且当“项专
/3)F⑴=二 2(1 F
务F(0) = l.F(x) > 0,求g
002 上册 198 页(21)
解法
004
解法
上面的解法忘记+C
007
求不定积分xarctanjr n< 1 +工八
分部积分时,首选对数函数、反三角函数作 u(x)
这题两个都出现了,任选一个作 u(x),先干掉一个,剩下那个就好办了
上面的方法选择对数函数作 u(x),下面的方法选择反三角函数作 u(x),都是可以的(跳步
的地方请读者自行脑补)
4
实际上,也可以选择对数函数和反-角函数的乘积作 u(x),解法如下
=I (册nrrWH的巧-H (h. 如姒的痹
二{加以部如妇疥)-扳曲州S j "F出#火 =
二!("加*册柚妁-"仙匕'#七泌夜
_ /加南状,c
009 上册 199 页(39)
伊 /arcsin
伊 /arcsin
39题答案是错的,正确计算会比较麻烦,可以跳过此题。
arcsin
这个函数在x=1不可导
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