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习题11-1 对弧长的曲线积分
1.计算下列对弧长的曲线积分:
?L(x2 y2)nds, 其中 L为圆周 x acost , y asint (0 t 2 );
(1)(x
(1)
(x2+y2 yds
(a2cos 七 + &%in w -/(—asin i)2 + (acos t)2dt
(2) ? xds,其中L为由直线y x及抛物线y x2所围成的区域的整个边界;
L由如和L?两段组成,其中L“3=m((XY1)山①
于是
§工山= 卫山+「工d$ = I* F血+ [ i/J干彦J尹位
J L J J J C Jo
VSxdj: + 4jcs cLt
J a J o
= *(5 店+6姮一1).
a2,直线y x及x轴在第一象限内所围成的
图n-i
图n-i
扇形的整个边界;
L由线段OA:jf = 0(0<x<a),圆弧屈: acos ity=a^in I(0@<亏)和线段 0晶》=工 (0V《列组成(BS 1M).
ds
04
"X
e^dr — — It
D-
LaeEds=
=£
f P^yiTFdx
JOB Jo
asm ()2 + (acos i)2dr
=q —],
于是= § 一 1 + 奇陌 + — 1 = e*(2 + V)—Z x2
于是
x2yzds,其中 为折线 ABCD ,这里 A、B、C、D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、
(1,0,2)、(1,3,2);
r由直线段AB 皿和组成*其中
4BIj?=0,y=Qtz=r(0<r<2)iBCl^=r,>=01T=2(0</<l)i CD;^=lty=l^ = 2(O^l^3).
于是[工孚 d$=,上孚& + J/宇Jj +
于是
ra ri ra
Odt + I 0山+ 2tdi = 9*
J。 Jo J D
(5) l y2ds,其中 L 为摆线的一拱 x a(t sint), y a(1 cost) (0 t 2 ).
小=/倦)'+ (制虹
2.有一段铁丝成半圆形y *a
2.有一段铁丝成半圆形
y *a2 x2 ,其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标,
其质量。
解 曲线L的参数方程为x acos , y asin 0
2 2
ds . asin a cos d ad
依题意 x, y y,所求质量 M yds o a2 sin d 2a2
L
习题11-2 对坐标的曲线积分
计算下列对坐标的曲线积分:
(1) l(x2 y2)dx,其中L是抛物线y x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧;
- y2)dbc f (j? 一 j?)dLr =-尊
L J 0 侦
(2)? (x y)dx气y)dy,其中L为圆周x2 y2 a2 (按逆时针方向绕行); L
L的参数方程为try=asin ["从0变到2*于是
原式
cos E + sin E) ? (—t) — a(cos E — sin e) ? acos i]dz
4 j (一 a2 )di =一
(3) xdx ydy (x y 1)dz,其中 是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线;
直线r的参数方程为口=1+、,= 1+2小=1+3e,z从0变到L于是 原式=「[(1 + e) . 14-(1 + 20 ? 2+(l+r + l + 2f-l) ? 3]dx
(6 + 14t)dt = U a
(4) ? dx dy ydz,其中 为有向闭折线 ABCA,这里A、B、C依次为点(1,0,0)、
(0,1,0)、(0,0,1);
「由有向线段AB.BC.CA依次连接而成,其中
AHtx = 1—f,y = = Qi 从。变到 1$
BC:x = Q,)= 1—从 0 变到 1 j
= t,y — 1 —W 从 0 变到 L
J dr 一 Ay -F ydz = J [(1) —l+0]d/=—21
匕。一(一 1) + (1 —e) ? 1]& = ('(2-Odr = 4
a Jo 6
因此
dz — d》+ ydz = J BC
J dx — dy + y& = J (1—0+0)也=1,
$ & — dy + ydz —— 2 + 与 +1 =
J r £ £
2.计算 L (x y)dx (y x)dy, 其中L是:
抛物线y2 x上从点(1,1)到点(4, 2)的一段弧;
解(1)化为对,的定积分从1变到2, 原式=][<;/ +丁)* 2、+《/一))? l]djf =£" + 丁 +少心=等.
从点(1,1)到点(4,2)的直线段;
(2) L的方程为)一 1 =岂(工一1),即工=3)— 2,’从1变到2?化为对y 的定积分计算,有
原式=[(3、一2 + y) ? 3 + (y —时+ 2) ■ l]d\
JI
= (1
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