导数在研究函数中的应用导数和极值.ppt

导数在研究函数中的应用 (2) 函数的极值与导数 a b y=f(x) x o y y=f(x) x o y a b f ( x )0 f ( x )0 复习 : 函数单调性与导数关系 如果在某个区间内恒有 , 则 为常数 . 0 ) ( ? ? x f ) ( x f 设函数 y=f(x) 在 某个区间 内可导， f(x) 增函数 f(x) 减函数 y x O a b y ? f ( x ) x 1 f ( x 1 ) x 2 f ( x 2 ) x 3 f ( x 3 ) x 4 f ( x 4 ) 在 x 1 、 x 3 处函数值 f ( x 1 ) 、 f ( x 3 ) 与 x 1 、 x 3 左右近旁 各点处的 函数值 相比 , 有什么特点 ? f ( x 2 ) 、 f ( x 4 ) 比 x 2 、 x 4 左右近旁 各点处的 函数值 相比呢 ? 观察图像 ： 一、函数的极值定义 设函数 f(x) 在点 x 0 附近有定义， ? 如果对 X 0 附近的所有点，都有 f(x)f(x 0 ), 则 f(x 0 ) 是函数 f(x) 的一个极大值， 记作 y 极大值 = f(x 0 ) ； ? 如果对 X 0 附近的所有点，都有 f(x)f(x 0 ), 则 f(x 0 ) 是函数 f(x) 的一个极小值，记作 y 极小值 = f(x 0 ) ； o x y o x y 0 x 0 x ◆函数的 极大值 与 极小值 统称 为 极值 . ( 极值即 峰谷处 的值） 使函数取得极值的 点 x 0 称为 极值点 f ? ( x )0 y x O x 1 a b y ? f ( x ) 极大值点两侧 极小值点两侧 f ? ( x )0 f ? ( x )0 f ? ( x )0 （ 3 ） 极值点两侧 导数 正负符号 有何规律 ? x 2 2 、 f ? (x 0 ) =0 且 x 0 两侧单调性 不同 ， x 0 才 是极值点 . 结论： 1 、 极值点处， f ? (x) =0 探究 (1) 极值点处导数值 ( 即 切线斜率）有何特点？ (2) 极值点两侧 函数图像单 调性有何特点 ? 3 、极值点两侧 导数正负符号异号 二、极值点及其附近的导数 思考 ; 若 f ? (x 0 )=0 ，则 x 0 是否为极值点？ 思考 ; 若 f ? ( x 0 )=0 ，则 x 0 是否为极值点？ 是极值点吗？ ） （ 处， 在 ， 得 由 0 , 0 0 0 3 ) ( , ) ( 2 3 ? ? ? ? ? x f x x x f x x f 例 1 : 求 的极值。 ? ? ? 3 1 y x 4x 4 3 变式 求 在 时的极值。 ? ? ? 3 1 y x 4x 4 3 ) , 0 ( ?? ? x 例题 2: 若 f(x)=ax 3 +bx 2 -x 在 x=1 与 x=-1 处有极值 . (1) 求 a 、 b 的值 (2) 求 f(x) 的极值 . 解析 :f(x ) 有 极大值和极小值 f(x)=0 有 2 实根 , 0 ? ? 有极大值和极小值 , 求 a 范围 ? 1 ) 6 ( ) ( 2 3 ? ? ? ? ? x a ax x x f 例 3 、 已知函数 解得 a6 或 a-3 结束吗 注意 ：函数极值是在某一点附近的小区间内定义 的，是 局部性质 。因此一个函数在其整个定义区间 上可能有 多个极大值或极小值 ，并对同一个函数来 说，在某 一点的极大值也可能小于另一点的极小值 。 思考 . 判断下面 4 个命题，其中是真命题序号为 。 ① f ? ( x 0