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三角形
知识考点:
理解三角形三边的关系及三角形的主要线段(中线、高线、角平分线)和三角形的内角和定理。关键是正确理
解有关概念,学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。
精典例题:
【例1】已知一个三角形中两条边的长分别是 a、b,且a b,那么这个三角形的周长 L的取值范围是( )
A、3a L 3b B、2(a b) L 2a
C、2a6 b L 2b a D、3a b L a 2b
分析:涉及构成三角形三边关系问题时,一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。
答案:B
变式与思考:在厶ABC中,AC = 5,中线AD = 7 ,贝U AB边的取值范围是( )
A、1 v AB v 29 B、4 v AB v 24 C、5 v AB v 19 D、9 v AB v 19
评注:在解三角形的有关中线问题时,如果不能直接求解,则常将中线延长一倍,借助全等三角形知识求解,
这也是一种常见的作辅助线的方法。
【例2】如图,已知△ ABC中,/ABC = 45°,/ACB = 61 0,延长BC至E,使CE= AC ,延长CB至D,使DB
=AB,求/ DAE的度数。
分析:用三角形内角和定理和外角定理,等腰三角形性质,求出/ E的度数,即可求得/ DAE的度数。
略解:??? AB = DB, AC = CE
1 1
■'■/D = — /ABC,/E= ZACB
2 2
1 0
■ ZD + /E= (/ABC + /ACB )= 530
2
???/DAE = 180 0 —(/D + /E)= 127 0
探索与创新:
【问题一】如图,已知点 A在直线I夕卜,点B、C在直线I上。
(1 )点P是△ABC内任一点,求证:/ P>/A ;
试判断在厶ABC夕卜,又和点A在直线I的同侧,是否存在一点 Q,使/BQC >ZA,并证明你的结论。
分析与结论:
连结AP,易证明/ P >ZA ;
存在,怎样的角与/ A相等呢?利用同弧上的圆周角相等,可考虑构造△ ABC的外接O 0,易知弦BC所 对且顶点在弧 A mB,和弧AnC上的圆周角都与/ A相等,因此点 Q应在弓形A mB和AnC内,利用圆的有关 性质易证明(证明略)。
【问题二】如图,已知 P是等边△ ABC的BC边上任意一点,过 P点分别作AB、AC的垂线PE、PD,垂足为
E、D。问:△ AED的周长与四边形 EBCD的周长之间的关系?
分析与结论:
(1 ) DE是△AED与四边形EBCD的公共边,只须证明 AD + AE = BE+ BC+ CD
(2)既有等边三角形的条件,就有 60°的角可以利用;又有垂线,可造成含 30°角的直角三角形,故本题可
借助特殊三角形的边角关系来证明。
B P Cy,那么:BP = 2x , PC 问题二图略解:在等边△ ABC中,/
B P C
y,那么:BP = 2x , PC 问题二图
又TPE丄AB于E, PD丄AC于D
/?ZBPE=ZCPD = 30°
不妨设等边△ ABC的边长为1 , BE= X , CD
1
2y , x y ,而 AE = 1 x , AD = 1 y
2
???AE+ AD = 2 (x y)-
2
3
又 TBE+ CD + BC = (x y) 1 一
2
???AD + AE = BE+ BC + CD
从而 AD + AE + DE = BE+ BC + CD + DE
即△AED的周长等于四边形 EBCD的周长。
评注:本题若不认真分析三角形的边角关系,而想走“全等三角形”的道路是很难奏效的。
跟踪训练:
一、填空题:
TOC \o "1-5" \h \z 1、 三角形的三边为 1,1 a,9,则a的取值范围是 。
2、 已知三角形两边的长分别为 1和2,如果第三边的长也是整数,那么第三边的长为 。
3、 在厶ABC 中,若/ C= 2 (ZA +/B),则ZC= 度。
4、 如果△ ABC的一个外角等于150 0,且Z B=ZC,则Z A = 。
5、 如果AABC中,ZACB = 90°, CD是AB边上的高,则与Z A相等的角是 。
6、 如图,在△ ABC中,ZA = 80°,ZABC 和ZACB的外角平分线相交于点 D,那么Z BDC = 。
7、 如图,CE 平分Z ACB,且 CE丄DB ,/DAB =ZDBA , AC = 18cm , ZCBD 的周长为 28 cm,贝U DB = 。
&纸片AABC中,Z A = 65 0 , ZB = 750,将纸片的一角折叠,使点 C落在△ABC内(如图),若Z1 = 200,则Z2
的度数为 。
9、 在厶ABC 中,Z A = 50°,高 BE、CF 交于点 O,
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