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题型八 二次函数综合题
类型四 与直角三角形有关的问题
;满;例 4 如图,抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.
(1)求A、B、C点的坐标;;(2)连接AC,BC,△ACB是锐角三角形吗?请说明理由;;(3)在y轴上是否存在点D,使△ACD是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出点D坐标;若不存在,请说明理由;;解:存在.如解图①,过点A作AD⊥AC,交y轴于点D,设点D坐标为(0,d),
在Rt△OAD中,AD2=OA2+OD2=1+d2,
在Rt△OAC中,AC2=OA2+OC2=12+32=10,
在Rt△ACD中,∵∠DAC=90°,
∴AD2+AC2=DC2,
∴(1+d2)+10=(d+3)2,解得d= ,
∴点D坐标为(0, );;(4)在抛物线上是否存在点E,使△BCE是以BC为直角边的直角三角形?若存在,求出点E坐标;若不存在,请说明理由;;解:存在.如解图②,过点B作BE1⊥BC,交抛物线于点E1,过点C作CE2⊥BC交抛物线于点E2,
①当∠CBE1=90°时,设E1(e,e2-2e-3),
根据勾股定理得,
E1B2=(3-e)2+(e2-2e-3)2=e4-4e3-e2+6e+18,
E1C2=e2+(e2-2e-3+3)2=e4-4e3+5e2,
BC2=32+32=18,
∵E1B2+BC2=E1C2,;∴(e4-4e3-e2+6e+18)+18=e4-4e3+5e2,
即e2-e-6=0,解得e1=3(不合题意,舍去),e2=-2,
∴E1的坐标为(-2,5);
②当∠BCE2=90°,设E2(m,m2-2m-3)
根据勾股定理得E2C2=m2+(m2-2m-3+3)2=m4-4m3+5m2,
E2B2=(m-3)2+(m2-2m-3)2=m4-4m3-m2+6m+18,
∵E2C2+BC2=BE22,
∴m4-4m3+5m2+18=m4-4m3-m2+6m+18,;即m2-m=0,
解得m1=0(不合题意,舍去),m2=1,
∴E2的坐标为(1,-4),
综上所述,存在点E使△BCE是以BC为直角边的直角三角形,点E坐标为E1(-2,5)或E2(1,-4);;(5)在抛物线对称轴上是否存在点F,使△BCF是直角三角形?若存在,求出点F坐标;若不存在,说明理由.;解:存在点F,使△BCF为直角三角形,
抛物线y=x2-2x-3的对称轴为直线x= =1,
设F点坐标为(1,f),
∴BF2=(x B-xF)2+yF2=4+f2,CF=xF2+(y F-yC)2=1+(3+f)2=f2+6f+10,
且BC2=OB2+OC2=32+32=18,;①当∠CBF=90°时,过点B作BF1⊥BC交对称轴于点F1连接CF1(如解图③),
则有CF12=BC2+BF12,∴f2+6f+10=18+4+f2,
解得f=2,∴F1(1,2);;③如解图④,当???BFC=90°时,以BC为直径的圆与对称轴交于点F3,F4,则∠BF3C=∠BF4C=90°,
∵BF2+CF2=BC2,∴4+f2+(f2+6f+10)=18,
即f2+3f-2=0,解得f1= ,f2= ,
∴F3(1, ),F4(1, ),
综上所述,存在点F,使△BCF为直角三角形,点F的坐标为F1(1,2)或F2(1,-4)或F3(1, )或F4(1, ).
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