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三个正数的算术 - 几何平均不等式 定理 1. 如果 R b a ? , ,那么 ab b a 2 2 2 ? ? ( 当且仅当 b a ? 时取“ =” ) 复习: 定理 2. 如果 那么 b a , 是正数, ab b a ? ? 2 (当且仅当 b a ? 时取“ =” 号) 语言表述 : 两个正数的算术平均不小于 它们的几何平均 . 注意 : 利用算术平均和几何平均 定理时一定要注意定理的条件 : 一正 ; 二定 ; 三相等 . 有一个条件达不 到就不能取得最值 . 思考 ? 基本不等式给出了两个正数的算术平均 与几何平均的关系,这个不等式能否推广 呢? 例如,对于 3 个正数,会有怎样的不等 式成立呢? . , 3 , , , 3 等号成立 时, 当且仅当 那么 类比、猜想,如果 c b a abc c b a R c b a ? ? ? ? ? ? ? 为了证明猜想,我们先证明 : . , 3 , , , 3 3 3 等号成立 时, 当且仅当 那么 已知 c b a abc c b a R c b a ? ? ? ? ? ? ? abc c b a 3 3 3 3 ? ? ? abc c ab b a b a 3 3 3 ) ( 3 2 2 3 ? ? ? ? ? ? abc ab b a c b a 3 3 3 ) ( 2 2 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( 3 ) ( ) ( ) ( 2 2 c b a ab c c b a b a c b a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 3 2 )( ( 2 2 2 ab c bc ac b ab a c b a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) )( ( 2 2 2 ca bc ab c b a c b a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 a c c b b a c b a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ≥ 0 如何使用这 个不等式来 证明猜想呢? . , 3 3 3 3 时,等号成立 当且仅当 c b a abc c b a ? ? ? ? ? ? 定理 3 语言表述 : 三个正数的算术平 均不小于它们的几何平均。 . , 3 , , , 3 时,等号成立 当且仅当 那么 如果 c b a abc c b a R c b a ? ? ? ? ? ? ? 推论 : ) , , ( 3 3 ? ? ? ? ? R c b a abc c b a 3 3 abc c b a ? ? ? . , 等号成立 时 当且仅当 c b a ? ? 为定值时 abc ) 1 ( 为定值时 c b a ? ? ) 2 ( 3 ) 3 ( c b a abc ? ? ? . , 等号成立 时 当且仅当 c b a ? ? 关于“平均”的概念: n a a a n ? ? ? ? 2 1 叫做这 n 个正数的 算术平均。 n n a a a ? 2 1 叫做这 n 个正数的 几何平均 。 2. 基本不等式: n a a a n ? ? ? ? 2 1 ≥ n n a a a ? 2 1 推 广 . , , 2 1 2 1 时,等号成立 当且仅当 n n a a a R a a a ? ? ? ? ? ? ? ,则 且 如果 * 2 1 1 , , , . 1 N n n R a a a n ? ? ? ? ? 语言表述 : n 个正数的算术平均不 小于它们的几何平均 . 3 3 x y z xyz ? ? ? 证明:因为 ,所以 3 27 xyz ? 即( x+y+z ) , 27 ) ( 3 xyz z y x ? ? ? . 27 ) , , , 1 3 xyz z y x R z y x ? ? ? ? ? ( 求证: 、已知 例 例2 : . ) 1 ( , 1 0 2 的最大值 求函数 时 当 x x y x ? ? ? ? 解 : , 1 0 ? ? x ? , 0 1 ? ? ? x . 27 4 , 3 2 , 1 2 max ? ? ? ? ? y x x x 时 即 当 27 4 ) 3 1 2 2 ( 4 3 ? ? ? ? ? x x x ) 1 ( 2 2 4 ) 1 ( 2 x x x x x y ? ? ? ? ? ? 构造三 个数相 加等于 定值 . 例3 . 如图,把一块边长为 的正方形铁片的各角 切去大小相同的小正方形,再把它的边沿着虚线
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