2020版名师讲坛高三数学二轮专题复习课件专题三 微切口9 动态二次函数问题 动轴定区间定轴动区间.ppt

专题三 不等式 微切口 9 动态二次函数问题 — 动轴定区间、定轴动区间 已知函数 f ( x ) ＝ ax 2 － 2 x ＋ 1. (1) 若 1 3 ≤ a ≤ 1 ，且 f ( x ) 在 [1,3] 上的最大值为 M ( a ) ，最小值为 N ( a ) ，令 g ( a ) ＝ M ( a ) － N ( a ) ，求 g ( a ) 的表达式； 【思维引导】 【解答】 因为 f ( x ) ＝ a ? ? ? ? ? ? x － 1 a 2 ＋ 1 － 1 a ， 由 1 3 ≤ a ≤ 1 ，得 1 ≤ 1 a ≤ 3 ，所以 N ( a ) ＝ f ? ? ? ? ? ? 1 a ＝ 1 － 1 a . 当 1 ≤ 1 a <2 ，即 1 2 < a ≤ 1 时， M ( a ) ＝ f (3) ＝ 9 a － 5 ， 故 g ( a ) ＝ 9 a ＋ 1 a － 6 ； 当 2 ≤ 1 a ≤ 3 ，即 1 3 ≤ a ≤ 1 2 时， M ( a ) ＝ f (1) ＝ a － 1 ， 故 g ( a ) ＝ a ＋ 1 a － 2. 所以 g ( a ) ＝ ? ? ? ? ? a ＋ 1 a － 2 ， a ∈ ? ? ? ? ? ? 1 3 ， 1 2 ， 9 a ＋ 1 a － 6 ， a ∈ ? ? ? ? ? ? 1 2 ， 1 . (2) 在 (1) 的条件下，求证： g ( a ) ≥ 1 2 . 【解答】 当 a ∈ ? ? ? ? ? ? 1 3 ， 1 2 时， g ′ ( a ) ＝ 1 － 1 a 2 <0 ，所以函数 g ( a ) 在 ? ? ? ? ? ? 1 3 ， 1 2 上为减函数； 当 a ∈ ? ? ? ? ? ? 1 2 ， 1 时， g ′ ( a ) ＝ 9 － 1 a 2 >0 ，所以函数 g ( a ) 在 ? ? ? ? ? ? 1 2 ， 1 上为增函数． 所以当 a ＝ 1 2 时， g ( a ) 取得最小值，且 g ( a ) min ＝ g ? ? ? ? ? ? 1 2 ＝ 1 2 ， 故 g ( a ) ≥ 1 2 . (2019· 泗洪中学 ) 已知 a 为实数，函数 f ( x ) ＝ x 2 ＋ | x － a | ＋ 1 ， x ∈ R . (1) 求 f ( x ) 的最小值； 【思维引导】 【解答】 f ( x ) ＝ ? ? ? ? ? x 2 ＋ x － a ＋ 1 ， x ≥ a ， x 2 － x ＋ a ＋ 1 ， x ＜ a . ①当 a ≤ － 1 2 时， f ( x ) 在 ? ? ? ? ? ? － ∞ ，－ 1 2 上单调递减，在 ? ? ? ? ? ? － 1 2 ，＋ ∞ 上单调递增， 所以 f ( x ) min ＝ f ? ? ? ? ? ? － 1 2 ＝ 3 4 － a ； ②当－ 1 2 ＜ a ＜ 1 2 时， f ( x ) 在 ( － ∞ ， a ) 上单调递减，在 ( a ，＋ ∞ ) 上单调递增， 所以 f ( x ) min ＝ f ( a ) ＝ a 2 ＋ 1 ； ③当 a ≥ 1 2 时， f ( x ) 在 ? ? ? ? ? ? － ∞ ， 1 2 上单调递减，在 ? ? ? ? ? ? 1 2 ，＋ ∞ 上单调递增， 所以 f ( x ) min ＝ f ? ? ? ? ? ? 1 2 ＝ 3 4 ＋ a ； 综上， f ( x ) min ＝ ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 4 ＋ a ， a ≥ 1 2 ， a 2 ＋ 1 ，－ 1 2 ＜ a ＜ 1 2 ， 3 4 － a ， a ≤ － 1 2 . (2) 若 a ＞ 0 ， g ( x ) ＝ f ( x ) ＋ a | x | ，求 g ( x ) 的最小值． 【解答】 g ( x ) ＝ x 2 ＋ | x － a | ＋ 1 ＋ a | x | ＝ ? ? ? ? ? x 2 ＋ ( a ＋ 1 ) x － a ＋ 1 ， x ≥ a ， x 2 ＋ ( a － 1 ) x ＋ a ＋ 1 ， 0 ＜ x ＜ a ， x 2 － ( a ＋ 1 ) x ＋ a ＋ 1 ， x ≤ 0. ①当 a ＋ 1 2 ≤ a ，即 a ≥ 1 时，－ a ＋ 1 2 ＜ 0 且 1 － a 2 ≤ 0 ， g ( x ) 在 ( － ∞ ， 0) 上单调递减，在