2020版名师讲坛高三数学二轮专题复习课件专题一 微切口8 极化恒等式.ppt

专题一 三角函数和平面向量 微切口 8 极化恒等式 设 a ， b 是平面内的两个向量，则有 a · b ＝ 1 4 [( a ＋ b ) 2 － ( a － b ) 2 ] ；极化恒等式的几何 意义是在△ ABC 中，若 AD 是 BC 边上的中线，则 AB → · AC → ＝ AD 2 － BD 2 . (1) 在平面四边形 ABCD 中， E ， F 分别是边 AD ， BC 的中点，且 AB ＝ 1 ， EF ＝ 2 ， CD ＝ 5. 若 AD → · BC → ＝ 15 ，则 AC → · BD → 的值为 ________ ． 14 【思维引导】 【解析】 (1) 方法一 ( 极化恒等式 ) ： 如图 (1) ，取 AB ， AC ， CD ， BD 的中点 H ， I ， J ， K . ( 例 1(1)) 在四边形 ABCD 中，易知 EF ， KI ， HJ 三线共点于 O ， 因为 AD → · BC → ＝ 15 ，所以 HK → · HI → ＝ 15 4 ＝ HO 2 － IO 2 . 又因为 AC → · BD → ＝ 4 HE → · HF → ＝ 4( HO 2 － F O 2 ) ， 在△ EF I 中，因为 EF ＝ 2 ， EI ＝ 5 2 ， F I ＝ 1 2 ， 由中线长公式知 IO 2 ＝ 1 4 ，从而 HO 2 ＝ 4 ， 所以 AC → · BD → ＝ 4 × ? ? ? ? ? ? 4 － 1 2 ＝ 14. 方法二 ( 坐标法 ) ： 建立如图 (2) 所示的平面直角坐标系 xAy ， ( 例 1(2)) 设 A (0,0) ， B (1,0) ， D ( x 1 ， y 1 ) ， C ( x 2 ， y 2 ) ． 因为 BC → ＝ AC → － AB → ＝ ( x 2 － 1 ， y 2 ) ， 所以 AD → · BC → ＝ ( x 1 ， y 1 )· ( x 2 － 1 ， y 2 ) ＝ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 － x 1 ＝ 15. 因为 BD → ＝ AD → － AB → ＝ ( x 1 － 1 ， y 1 ) ， 所以 AC → · BD → ＝ ( x 2 ， y 2 )· ( x 1 － 1 ， y 1 ) ＝ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 － x 2 ＝ 15 ＋ x 1 － x 2 . 因为 EF → 2 ＝ ? ? ? ? ? ? x 1 2 － x 2 ＋ 1 2 2 ＋ ? ? ? ? ? ? y 1 2 － y 2 2 2 ＝ 2 ， 则 ( x 1 － x 2 － 1) 2 ＋ ( y 1 － y 2 ) 2 ＝ 8 ， 即 ( x 1 － x 2 ) 2 ＋ ( y 1 － y 2 ) 2 － 2( x 1 － x 2 ) ＋ 1 ＝ 8. 又因为 CD → 2 ＝ ( x 1 － x 2 ) 2 ＋ ( y 1 － y 2 ) 2 ＝ 5 ，所以 AC → · BD → ＝ 15 ＋ x 1 － x 2 ＝ 14. 方法三 ( 基向量 ) ： 因为 2 EF → ＝ AB → ＋ DC → ， 所以 4 EF → 2 ＝ AB → 2 ＋ DC → 2 ＋ 2 AB → · DC → ， 又 AB ＝ 1 ， DC ＝ 5 ， EF ＝ 2 ，所以 AB → · DC → ＝ 1. 因为 AD → · BC → ＝ 15 ，所以 ( AC → ＋ CD → )· ( BD → ＋ DC → ) ＝ 15 ， 则 AC → · BD → ＋ AC → · DC → ＋ CD → · BD → － DC → 2 ＝ 15