高等气体动力学第8章－黏性流动与湍流模型基础.doc

高等气体动力学 2008.3.17 第八章 黏性流动与湍流模型基础 *8 黏性流动与湍流模型基础（8学时） 8.1 黏性流动的一般特征 8.2 控制方程组 8.3 N－S方程组的精确解 8.4 附面层理论 #8.5 湍流流动的基本方程 #8.6 湍流模型初步 §8－1黏性流动的一般特征 黏性流动与无黏流动的区别主要表现在三个方面： 运动的有旋性 涡旋的扩散性 能量的耗散性 一、黏性流体运动的有旋性 一般地，黏性流体运动总是有旋的。 以不可压流为例。不可压黏性流体运动的基本方程组是 (8-1 可见，涡量场与黏性流动存在着对应关系。所以，在物面的附面层、分离区、尾迹区等受黏性控制的区域，必然分布着涡量。 涡量是由速度梯度引起的，速度梯度越大，涡量也越大。 流体的黏性应力取决于应变速率的大小，特别是剪切应变速率，所以涡量与黏性流动存在着因果关系。 在物面上，剪切应变是由黏性流体的无滑移边界条件产生的，这就是说无滑移边界条件产生了涡量。同时，边界上生成的涡量由于黏性而扩散到流体内部，并借助于对流而向下游输运。 二、环量和涡通量的变化 根据式(5-3-2)，绕封闭流体线C的环量随时间的变化可以写成 (5-3-2) 联系(5-3-2c)式，上式右端第二项为零，即有 (8-1-2) 将动量方程(1-3-29 (8-1-3) 对于正压流体、彻体力有势，上式右端第一和第三项为零，有 (8-1-4) 显然，对无黏流体，上式右端为零，即得到开尔文定理(5-3-4)式。 考虑不可压缩流体，(8-1-4)式右端第二项为零，则有 (8-1-5) 根据斯托克斯定理，可以将线积分改写成面积分，则有 因为 所以 (8-1-6) 这就是不可压缩正压黏性流体，且彻体力有势时的速度环量变化率。 设流场中任一封闭流体线C围成面积A，定义涡通量为通过A的涡量，即 绕封闭流体线C的环量则为 (8-1 即环量与涡通量是相同的，所以涡通量随时间的变化就是环量随时间的变化 (8-1-8) 这就是不可压缩的正压黏性流体当彻体力有势时的涡通量变化率。对无黏流体，涡通量不随时间变化，即涡通量是守恒的，即第五章给出的赫姆霍兹定理。 上式表明，在黏性存在的情况下，涡通量不再守恒，因而涡旋可以产生、扩散、衰减或消失。 综上所述，当流体为黏性流体、非正压流体或彻体力无势时，都会破坏涡旋的守恒，而且在这三个影响因素中，黏性更是经常起作用的因素，因为真实流体都是有黏性的。所以，一般来说黏性流体总是有旋的。 流体的涡旋还可以扩散，即从涡旋强度大的地方向强度小的地方扩散，并直到涡旋强度平衡时为止。 §8－2控制方程组 黏性流动的控制方程组已由第一章给出。 一、积分形式 连续方程 (1-3-20) 动量方程 (1-3-25) 能量方程 (1-3-37) 二、微分形式 连续方程 (1-3-21) 或 (1-3-23) 动量方程 (1-3-27) 或 (1-3-28) 能量方程 (1-3-38) 或 (1-3-39) 或内能形式 (1-3-41) (1-3-43) 三、矩阵形式 (1-3-47) 或 (1-3-48) ，　，　 或 (1-3-49a (1-3-50a (1-3-50b) (1-3-50c §8－3 N－S方程组的精确解 一、不可压库特剪切流 最简单的流动是不可压流体的平行流动，它只有一个不为零的速度分量。 在直角坐标系中，假设运动方向沿x轴，则其控制方程组为 连续方程 ， (8-3- 该方程表明，运动速度与x无关，即 (8-3-2) 假设彻体力就是重力，则fe=g。引进一个新的压强函数p*，令 (8-3-3) 则动量方程为 (8-3-4) 能量方程 (8-3 库特剪切流：如图8-1所示，两个无限大平板平行放置，间距为2b，上板温度为常数Te，并以速度Ue沿x轴匀速运动；下板温度为常数Tw，保持静止不动。取图示坐标系。 图8-1 库特剪切流 显然，库特剪切流为定常流动，并且这种流动完全是由黏性剪切引起的。 控制方程组变成 ， (8-3-6) (8-3-7) (8-3-8) 下板和上板的边界条件为 (8-3-9) 积分动量方程(8-3-7)式，注意p*仅是x的函数（由(8-3-4)可看出，p*关于y和 (8-3-10) 求出速度对y的导数du/dy，代入能量方程(8-3-8)式，并积分得 (8-3-11) 引入如下无量纲量 (8-3-12) 式中，Br、Pr和Ec分别为布伦克曼数、普朗特数和埃克尔特数。 于是，式(8-3-10)和(8-3-11)可改写成无量纲速度和无量纲温度的形式 (8-3-13) 这就是库特剪切流的解。 库特剪切流的速度分布如图8-2所示。 图8-2 库特剪切流速度分布 从图上可以看出