等差数列前n项和公式推导课堂.ppt

1 § 5.2.3 等差数列前 n 项和 数学学院 0807319 曹颖 2 一、复习： １、等差数列 ： ａ ｎ －ａ ｎ－１ ＝ｄ（ｎ ≧ ２，ｎ ∈ Ｎ ＋ ） ２、等差数列通项式： ａ ｎ ＝ａ １ ＋（ｎ－１）ｄ 3 小故事： 高斯是伟大的数学家，天文学家。１０岁时 一次老师说：现在给大家出道题： １＋２＋ … ＋１００＝？ 过了两分钟，正当大家在：１＋２＝３；３＋３ ＝６ … 算的不亦乐乎时，高斯站起来回答说： １ ＋２＋ … ＋１００＝５０５０．老师问他怎样计 算的，他回答说： 1+100=101 ； 2+99=101 ； … ５０＋５１＝１０１，所以 １０１×５０＝５０５０． 4 这个故事告诉我们求等差数列前 ｎ项和的一种很重要的思想方法，就 是我们要介绍的“ 倒序相加 ”法。 5 二、等差数列前ｎ项和公式１： 对等差数列ａ １ ，ａ ２ ， … ，ａ ｎ 前ｎ项求和， 得 Ｓ ｎ ＝ａ １ ＋ａ ２ ＋ａ ３ ＋ … ＋ａ ｎ ， Ｓ ｎ ＝ａ ｎ ＋ａ ｎ－１ ＋ａ ｎ－２ ＋．．．＋ａ ２ ＋ａ １， 6 上面两式相加得： ２Ｓ ｎ ＝（ａ １ ＋ａ ｎ ）＋（ａ ２ ＋ａ ｎ－１ ） ＋（ａ ３ ＋ａ ｎ－２ ）＋．．．＋（ａ ｎ ＋ａ ｎ ） ( ) 2 n １ ｎ ａ ＋ａ 因为 a 1 +a n =a 2 +a n-1 =a 3 +a n-2 =… ，所以 2S n =n(a 1 +a n ) S n = （ 1 ） 7 2 、等差数列前 n 项和公式 2 S n = 1 ( 1 ) 2 n n d na ? ? 用上述公式（ 1 ）要求 S n 必备三个条件： n,a 1 ,a n, 但 a n =a 1 +(n-1)d ，带入公式（ 1 ） 即得 （ 2 ） 8 公式（ 2 ）又可化为 S n = 2 1 ( ) 2 2 d d a n n ? ? 当 d ≠0 时，这是一个常数项为零的关 于 n 的二项式 . 9 三、讲解例题： 例 1 、一堆放铅笔的 V 型架的最下层放一支铅笔，往上 每一层都比它下一层多放一支，最上层放 120 支，问：这 个 V 型架上共放多少支铅笔？ 解：由题意知，这个 V 型架上共放 120 层铅笔且自下而 上各层的铅笔成等差数列，记为 {a n } 其中 a 1 =1,a 120 =120, 根 据等差数列前 n 项和公式得 : S 120 = 120 (1 120) 2 ? ? =7260 （支） 答： V 型架上共有 7260 支铅笔。 10 例 2 、等差数列 -10 ， -6 ， -2 ， 2 ， … 前多少项 的和是 54 ？ 解：设题中的等差数列为 {a n } ，前 n 项和为 S n ， 则： a 1 =-10, d=(-6)-(-10)=4, S n =54, 有公式（ 2 ）可得： ( 1 ) 1 0 4 5 4 2 nn n ? ? ? ? ? 11 解之得： n 1 =9, n 2 =-3 （舍）所以等 差数列 -10 ， -6 ， -2 ， 2 ， … 前 9 项和是 54. 12 四、巩固练习 1 、求集合 M={m/m=7n,n ∈ N ＋ 且 m ＜ 100} 的元 素个数，并求这些元素的和。 2 、已知一个等差数列的前 100 项和是 310 ， 前 20 项的和是 1220 ，求其前 n 项和公式 .