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. . .
第十章 数项级数
§1 级数问题的提出
1．证明：若微分方程 xy y xy 0 有多项式解
2 n
y a a x a x a x ，
0 1 2 n
则必有 a i 0(i 1,2, , n) ．
证明 由多项式解 y a a x a x 2 a xn 得
0 1 2 n
2 n 1
y a 2a x 3a x na x ，
1 2 3 n
2 n 2
y 2 a 6a x 12a x n(n 1)a x .
2 3 4 n
2 3 n 1
从而 xy 2 a x 6a x 12a x n(n 1)a x ，
2 3 4 n
且 xy a x a x 2 a x3 a xn 1 a x n a x n 1 .
0 1 2 n 2 n 1 n
将上述结果代入微分方程 xy y xy 0 ，得
2 3
a (a 4a )x (a 9a )x (a 16a )x
1 0 2
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