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教学目标 ⒈理解空间向量的基底、基向量的概念.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出; ⒉理解共面向量定理及其推论;掌握点在已知平面内的充要条件; ⒊会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题. 教学重点:点在已知平面内的充要条件.共线、共面定理及其应用. 教学难点:对点在已知平面内的充要条件的理解与运用. * 3.1.5空间向量运算的坐标表示 (第一课时) 2.空间直角坐标系: (1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为 1, 这个基底叫单位正交基底 (2)在空间选定一点 和一个单位正交基底 ,以点 为原点,分别以 的方向为正方向建立三条数轴: 轴、 轴、 轴 ,它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系 ,点 叫原点,向量 都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面, 分别称为 平面, 平面, 平面; 复习回顾: 1.空间向量的基本定理: 若是 空间的一个基底, 是空间任意一向量,存在唯一的实数组使. (4)在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 轴的正 方向,食指指向 轴的正 方向,如果中指指向 轴的正方向,称这个坐标系为右手直角坐标系。本书建立的坐标系都是右手直角坐标系. (3)作空间直角坐标系 时,一般使 复习回顾: 3.空间直角坐标系中的坐标: 如图给定空间直角坐标系和向量 ,设 为坐标向量,则存在唯一的 有序实数组 ,使 , 有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标,记作 . 在空间直角坐标系 中,对 空间任一点 ,存在唯一的有序实数组 ,使 , 有序实数组 叫作向量 在空间直角坐标系 中的坐标, 记作 , 叫横坐标, 叫纵坐标, 叫竖坐标. 一、向量的直角坐标运算 新课: 1.距离公式 (1)向量的长度(模)公式 注意:此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。 二、距离与夹角 在空间直角坐标系中,已知 、 ,则 (2)空间两点间的距离公式 2.两个向量夹角公式 注意: (1)当 时, 同向; (2)当 时, 反向; (3)当 时, 。 思考:当 及 时,夹角在什么范围内? 锐角、钝角 例1.已知 解: 三、应用举例 三、应用举例 例2. 已知 、 ,求: (1)线段 的中点坐标和长度; 解:设 是 的中点,则 ∴点 的坐标是 . (2)到 两点距离相等的点 的 坐标 满足的条件。 解:点 到 的距离相等,则 化简整理,得 即到 两点距离相等的点的坐标 满 足的条件是 解:设正方体的棱长为1,如图建 立空间直角坐标系 ,则 例3. 如图, 在正方体 中, ,求 与 所成的角的余弦值. 书:P96 例5 例4.如图,正方体 ????????????????????????中,E、F ???? 分别是 ??????, ?????中点,求证: 书:P96 例6 证明:不妨设已知正方体的棱长为1个单 位长度,设 分别以 为坐标向量建立空间直 角坐标系 则 练习 3 已知 垂直于正方形 所在的平面, 分别是 的中点,并且 ,求证: 证明: 分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系 则 练习4:如图,已知线段AB?α,AC⊥α,BD⊥AB,DE ⊥α ,∠DBE=30o,如果AB=6,AC=BD=8,求CD的长及异面直线CD与AB所成角的大小。 练习:平行六面体ABCD—A
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