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16.2 .2 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
探究点一:同类二次根式
下列二次根式中与eq \r(2)是同类二次根式的是( )
A.eq \r(12) B.eq \r(\f(3,2))
C.eq \r(\f(2,3)) D.eq \r(18)
解析:选项A中,eq \r(12)=2eq \r(3)与eq \r(,2)被开方数不同,故与eq \r(2)不是同类二次根式;选项B中,eq \r(\f(3,2))=eq \f(\r(6),2)与eq \r(2)被开方数不同,故与eq \r(2)不是同类二次根式;选项C中,eq \r(\f(2,3))=eq \f(\r(6),3)与eq \r(2)被开方数不同,故与eq \r(2)不是同类二次根式;选项D中,eq \r(18)=3eq \r(2)与eq \r(2)被开方数相同,故与eq \r(2)是同类二次根式.故选D.
方法总结:要判断两个二次根式是否是同类二次根式,根据二次根式的性质,把每个二次根式化为最简二次根式,如果被开方数相同,这样的二次根式就是同类二次根式.
探究点二:二次根式的加减
【类型一】 二次根式的加法或减法
(1)eq \r(8)+eq \r(32); (2)eq \f(1,2)eq \r(\f(2,3))+eq \f(1,3)eq \r(\f(3,2));
(3)4eq \r(48)-3eq \r(75); (4)18eq \r(\f(1,6))-eq \f(3,2)eq \r(96).
解析:先把每个二次根式化为最简二次根式,再把同类二次根式合并.
解:(1)原式=2eq \r(2)+4eq \r(2)=(2+4)eq \r(2)=6eq \r(2);
(2)原式=eq \f(1,6)eq \r(6)+eq \f(1,6)eq \r(6)=(eq \f(1,6)+eq \f(1,6))eq \r(6)=eq \f(\r(6),3);
(3)原式=16eq \r(3)-15eq \r(3)=(16-15)eq \r(3)=eq \r(3);
(4)原式=3eq \r(6)-6eq \r(6)=(3-6)eq \r(6)=-3eq \r(6).
方法总结:二次根式加减的实质就是合并同类二次根式,合并同类二次根式可以类比合并同类项进行,不是同类二次根式的不能合并.
【类型二】 二次根式的加减混合运算
计算:
(1)eq \r(12)-eq \f(3,\r(3))-eq \f(\r(27),3);
(2)eq \f(3,2)eq \r(4x)-3eq \r(\f(x,9))+3xeq \r(\f(1,x));
(3)3eq \r(1\f(2,3))-eq \r(45)+2eq \r(20)-eq \f(1,2)eq \r(60);
(4)eq \r(0.5)-2eq \r(\f(1,3))-(eq \r(\f(1,8))-eq \r(75)).
解析:先把每个二次根式化为最简二次根式,再把同类二次根式合并.
解:(1)原式=2eq \r(3)-eq \r(3)-eq \r(3)=0;
(2)原式=3eq \r(x)-eq \r(x)+3eq \r(x)=5eq \r(x);
(3)原式=eq \r(15)-3eq \r(5)+4eq \r(5)-eq \r(15)=eq \r(5);
(4)原式=eq \f(\r(2),2)-eq \f(2,3)eq \r(3)-eq \f(\r(2),4)+5eq \r(3)=eq \f(\r(2),4)+eq \f(13,3)eq \r(3).
方法总结:二次根式的加减混合运算步骤:①把每个二次根式化为最简二次根式;②运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起;③把同类二次根式的系数相加减,被开方数不变.
【类型三】 二次根式加减法的应用
一个三角形的周长是(2eq \r(3)+3eq \r(2))cm,其中两边长分别是(eq \r(3)+eq \r(2))cm,(3eq \r(3)-2eq \r(2))cm,求第三边长.
解析:第三边长等于(2eq \r(3)+3eq \r(2))-(eq \r(3)+eq \r(2))-(3eq \r(3)-2eq \r(2)),再去括号,合并同类二次根式.
解:第三边长是(2eq \r(3)+3eq \r(2))-(eq \r(3)+eq \r(2))-(3eq \r(3)-2eq \r(2))=2eq \r(3)+3eq \r(2)-eq \r(3)-eq \r(2)-3eq \r(3)+2eq \r(2)=4eq \r(2)-2eq \r(3)(cm).
方法总结:由三角形周长的意义可知,三角形的周长减
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