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不完备模糊信息系统中的模糊分类 摘 要 考虑既有模糊属性，又有不确定属性值的不完备模糊信息系统，采用两种不同的数 据补齐方式来讨论对象之间的相似程度，建立了一种新的模糊容差关系以对不完备模糊信 息系统中的对象进行模糊分类。在此基础上，新定义了不完备模糊信息系统中模糊知识的 粗糙熵，并进行了相关性质的探讨。 关键字 不完备模糊信息系统；模糊容差关系；熵 1 引言 粗糙集 理论 [1 ，2](Rough Set The ory ，RST)是由波兰学者 Pawlak 于上世纪八 十年代初提出的一种处理含糊和不精确性 问题 的新型数学工具。传统粗集模型的处理对 象是具有离散属性值的完备信息系统(Complete Information System ，CIS) ，并且Pawlak 所做的工作都是基于这样一个假设，即 CIS 中的知识是确定的。然而，模糊集的创始人 Zadeh 告诉我们现实世界中的大部分知识不是精确而是模糊的，因此对于客观存在的模糊 信息系统[3 ，4](Fuzzy Information System ，FIS)的 研究 不仅是必要的，而且相对于 CIS 的研究来说，具有更为广泛的意义。 不完备模糊信息系统[3] (Incomplete Fuzzy Information System ，IFIS)是一种更为复杂的信息系统形式，其中既有模糊知识，又可能 存在未知的模糊属性值。由于 RST 建立在分类机制的基础上，所以对于 IFIS ，文献 [3]首 先采用数据补齐方式来处理未知的模糊属性值，然后建立了 IFIS 中的模糊容差关系（满足 自反、对称性[5]）以进行对象的模糊分类，并进行了模糊知识的约简研究。文献[3]在 IFIS 中进行数据补齐时简单地将未知模糊属性值用模糊属性的全体值域来填充，然而经过笔者 的研究，发现这种简单的数据补齐方式并不能很完整地刻画对象之间的模糊相似程度。因 此，本文中采用了两种不同的数据补齐方式来处理不确定模糊属性值，分别得到对象间相 似程度的乐观和悲观估计，从而构成相似度的估计区间，由此建立的新的模糊容差关系实 际上是文献[3]中的模糊容差关系的一种推广形式。 本文的主要 内容 安排如下：第一节 简要介绍模糊信息系统中的相关知识；第二节采用两种不同的数据补齐方式处理未知模糊 属性值，建立了一种新的模糊容差关系；第三节重新定义了不完备模糊信息系统中模糊知 识的粗糙熵，并进行了相关性质的讨论；第四节 总结 全文。2 不完备模糊信息系统 定 义 1 一个模糊信息系统(FIS)为二元组 S = 〈U ，AT 〉，其中 U 是一个非空有限对象集合 ，称为论域，U 上的模糊子集族记为 F(U ) ，AT 为模糊属性集合。 令 S 为一 FIS ，对于 ，有a ：U→Va，Va 表示模糊属性 a 的值域；对于，a(x)表示 x 在模糊属性 a 上的取值， 即为 Va 的一模糊子集；对于表示 x 在模糊属性 a 上取值为 v 的可能性程度且。 FIS 是 集值信息系统[6]、完备信息系统[1 ，2]的拓展形式，若对于，有，则 FIS 就退化为集值信 息系统；更进一步地，若有，则 FIS 就退化成为完备信息系统，由此可见，FIS 是 CIS 的 一种广义化的表现形式。但是，由于 FIS 中存在的是模糊知识，因此经典粗集理论中的不 可分辨关系（等价关系）已不再适用，取而代之的是模糊等价关系或其他更弱的模糊二元 关系。 定义 2 设 S 为一 FIS ，对于，定义二元模糊关系如下所示：， 其中 x ，y∈U. 关系 Ra(x ，y)表示对象 x 与 y 在模糊属性 a 上取值的相似程度，对于，有 Ra(x ，y)∈[0 ，1] ，容易验证Ra 满足自反性和对称性，但并不一定满足传递性，因此称 Ra 为一个模糊 容差关系。 命题 1 设 S 为一 FIS ，对于，则由模糊属性集合A 决定的模糊容差关系记 为 RA 且，其中 x ，y∈U. 定义 3 设 S 为一 FIS ，其中，对于，则x 基于 RA 的模糊容差 类记为 F(a)(x)且 在 Pawlak 所讨论的 CIS 的基础上，已有很多学者将信息系统的概念进 一步拓展，讨论了其中存在未知属性值