四年级奥数(2)简单的数列求和.docxVIP

教学内容：简单的数列问题(一) 世界著名的数学家高斯(1777年?1855年)，幼年时代聪明过人。上小学时，有一天数 学老师出了一道题让全班同学计算： 1 + 2 + 3 + 4+，??+ 99 + 100 =? 老师出完题后， 全班同学都在埋头计算， 小高斯却很快地说出了正确答案 5050。那些正 忙着把这 100 个数一个一个相加求和的同学大吃一惊 !小高斯有什么窍门呢? 原来小高斯通过细心观察，发现 1?100这一串数中，1+ 100 = 2 + 99= 3+ 98=-= 49 + 52= 50+ 51= 101 。即：与这串数首末两端距离相等的每两个数的和，都等于首末两数的 和，这样的和为101的数共有100+ 2 = 50对。于是小高斯就把这道题巧算为： 1+ 2+ 3+-+ 99+ 100 =(1 + 100)X 100 + 2 = 5050 像 1， 2， 3，-， 99， 100 这样的一串数我们称为“等差数列” ，下面介绍有关等差数列 的概念。 若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后 一项称为末项。 从第一项开始， 后项与前项之差都相等的数称为等差数列， 后项与前项之差 称为公差，数列中数的个数称为项数。 例如： 5， 6， 7， 8，-， 100； 1， 3， 5， 7， 9，-， 99； 4， 12， 20， 28，-， 804； 1， 4， 8， 16，-， 256。 其中( 1)是首项为 5，末项为 100，公差为 1 的等差数列；( 2)是首项为 1，末项为 99， 公差为 2 的等差数列；( 3)是首项为 4，末项为 804，公差为 8 的等差数列；( 4)中前后两 项的差都不相等，它不是等差数列。 从高斯的故事我们知道，要想求出像 1 ， 2， 3，-， 99， 100 这一等差数列的和，只要 用第一个数 1 与最后一个数 100 相加求和，再乘以这串数的个数 100，最后除以 2。 由此，我们得到等差数列的求和公式为： 数列和=(首项+末项)X项数十 2 ［例 1］ 计算 1+ 2+ 3+-+ 1999 ［分析与解 ］ 这串加数组成的数列 1， 2， 3，-， 1999 是等差数列， 公差是 1，首项是 1， 末项是 1999，项数是 1999。根据等差数列求和公式可解得： 原式=( 1+ 1999)X 1999+ 2 ［例 2］ 求首项是 5，公差是 3 的等差数列的前 1999 项的和。 ［分析］等差数列中首项、末项、公差的关系是：末项=首项+公差X(项数— 1 ) ［解］ 末项= 5+ 3X( 1999－1) = 5999 和=( 5+ 5999)X 1999+ 2 ［ 例 3］ 计算 3+ 7+ 11 +-+ 99 ［分析 ］ 这串加数组成的数列是等差数列，公差是 4，首项是 3，末项是 99，但是我们 发现项数从题中看不出来， 这时就需要先求出项数。 根据上例中介绍的等差数列中首项、 末 项、公差的关系，可以得到： 项数=(末项一首项)十公差+ 1 ［解］ 项数=(99- 3)十 4+ 1 = 25 原式=(3 + 99)X 25- 2= 1275 ［例4］计算 2000- 3-6 — 9—…一51 - 54 (2+ 4+ 6 +???+ 96 + 98 + 100)-( 1+ 3+ 5+-+ 95+ 97 + 99) 1991 - 1998 + 1985 - 1982 + …+ 11-8 + 5 - 2 ［分析与解］(1 )利用第一讲中的知识，“某数连续减去几个数，等于减去这几个数的 和”，可将原式转化为：2000- (3+ 6+ 9+-+ 51 + 54)，所以，此题关键是求 3+ 6 + 9+… + 51 + 54 的和。 3+ 6+ 9 + ???+ 51 + 54 =(3+ 54)X ［ (54 - 3)- 3+ 1］ - 2 =57 X 9 =513 从而，原式=2000- 513= 1487。 同学们可能已经发现和式 2 + 4+-+ 98+ 100, 1 + 3 + 5+-+ 97+ 99中的项成等 差数列，从而可能想到先求和，再做减法。这样做，很自然，也比较简便。有其他更为简单 的解法吗？再看题，你会冒出一个好想法：运用加减法性质，先做减法：2- 1,4-3, 6-5,…， 100-99,它们的差都等于 1,然后计算等于1的差数有多少个。由于题中 1至100的全部 偶数之和作为被减数，奇数之和为减数，所以，相邻的奇偶数相减(以大减小) ，共得50 个差数1，从而， 原式=(2— 1) + ( 4— 3) +?+( 98 — 97)X( 100 — 99) =50 利用求解题(2)的经验，容易发现 1991 - 1988=