矩阵典型习题解析.docx

2矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对丁初学者来讲，对丁矩阵的理解 是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵 所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系 的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！ 丁是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单 ！ 2.1知识要点解析 2.1.1矩阵的概念 矩阵的定义 由en个数a^ (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n)组成的m行n列的矩形数表 a11 a12 a11 a12 a21 a22 a1n a2n am1 am2 amn 称为en矩阵，记为A (aij)mn 特殊矩阵 方阵：行数与列数相等的矩阵; (2)上(下)三角阵：主对角线以下(上) (2)上(下)三角阵：主对角线以下(上) 的元素全为零的方阵称为上(下) 三角阵； 对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； 数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； 单位矩阵：主对角线上元素全是 1的对角阵，记为E; 零矩阵：元素全为零的矩阵。 矩阵的相等 设 A (aij)mn； B (bij)mn 若 aj bj(i 1,2, ,m; j 1,2, ,n)，则称 A 与 B 相等，记为 A=B。 2.1.2矩阵的运算 加法 定义：设 A (Aj)mn，B (bj)mn,贝 U CAB ㈤ bj ) mn 运算规律 A+B=B+A ; ②(A+B) +C=A+ (B+C) ③A+O=A ④A+ (-A) =0, -A是A的负矩阵 数与矩阵的乘法 定义：设A ^Dmn’k为常数，则kA (kaj)mn 运算规律 ① K (A+B) =KA+KB,②(K+L )A=KA+LA, ③(KL) A= K (LA) 矩阵的乘法 定义：设 A (aij)mn, B (bij )np.则 n AB C (Cij)mp，其中 Cij aikbkj k 1 运算规律 (AB)C A(BC):② A(B C) AB AC ③(B C)A BA CA 方阵的籍 定义:A (aj)n，则Ak A A K 运算规律：Am An Am n ; (Am)n Amn 矩阵乘法与籍运算与数的运算不同之处。 ①AB BA ②AB 0,不能推出A 0或B 0； (AB)k Ak Bk 矩阵的转置 定义：设矩阵A=(aij)mn，将A的行与列的元素位置交换，称为矩阵 A 的转置，记为At (aji )nm , 运算规律 ①(At)t A; ②(A B)t At Bt ; ③(kA)T KAT； ④(AB)T BTAT。 对称矩阵与反对称矩阵 若At A,则称A为对称阵； at a,则称A为反对称阵。 逆矩阵 定义：设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=E , 则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵，记作B A1。 A可逆的元素条件： A可逆 A 0 可逆阵的性质 若A可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1 =a； 若a可逆，k冬0,则kA可逆，且(kA)1 Ja1; k 若A可逆，则At也可逆，且(At) 1 (A 1)T ; 若a, B均可逆，则AB也可逆，且(AB) 1 B 1A 1。 伴随矩阵 ①定义：a* (Aj)T，其中Aij为aij的代数余子式, 性质： i) aa* a*a |ae ； ii) a] |An1； iii ) (a*)* |An2A； iv)若A可逆，则a*也可逆，且(A*) 1 (A 1)* 71A A ③用伴随矩阵求逆矩阵公式：A ③用伴随矩阵求逆矩阵公式：A 1 1 a* aA 2.1.3方阵的行列式 1.定义：由n阶方阵A的元素构成的n阶行列式(各元素的位置不变)叫 做方阵A 1.定义：由n阶方阵A的元素构成的 2.性质：(1) 2.性质： (1) At a, (2) kA knA, AB AB, (4) A(1)单位阵E: |E1；(2) (4) A (1)单位阵E: |E 1； (2)数量矩阵 kE： kE kn;当 k 0 时,(kE) 对角阵: 若12 n 若12 n 0, 上(下)三角阵 a11 a22 811822 ann ann 若A 0, 则A 1仍为上 (T)三角阵 2.1.4矩阵的初等变换与初等矩阵 矩阵的初等变换 定义：以下三种变换 ①交换两行(歹0); ②某行(列)乘一个不为零的常数k; ②某行(列)乘一个不为零的常数 k; 某行(列)的k倍加到另一行(列)上去，称为矩阵的初等变换。 初等矩阵 定义：将n阶单位阵E进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵; 交换i ,j两行(歹0)，记为E(i, j); 第i行(列)乘以不为零的常数k记为E(i(k))； 第j行的k倍加到