立体几何中的向量方法3——空间角.ppt

. 3.2立体几何中的向量方法 ——空间角 1、两条直线的夹角： l m l m 所以 与 所成角的余弦值为 解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系 ,如图所示，设 则： 所以： 例： 2、直线与平面的夹角： l 例： l D C B A 3、二面角： ①方向向量法： 二面角的范围： l l ②法向量法 法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角 设平面 例： 1. 三棱锥P-ABC PA⊥ABC,PA=AB=AC, ,E为PC中点 ,则PA与BE所成角的余弦值为_________ . 2. 直三棱柱ABC-A1B1C1中, A1A=2, AB=AC=1, 则AC1与截面BB1CC1所成 角的余弦值为_________ . 3.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的 中点, 则二面角E-BC-A的大小是________ 利用“方向向量”与“法向量”来解决 距离问题. 第三问题： 1、点与点的距离： 2、点与直线的距离： A1 x D1 B1 A D B C C1 y z E F CD中点，求:点F到直线AE的距离. 例：在正方体 中，E、F分别是BB1,， 3、点到平面的距离： 3、点到平面的距离： D A B C G F E x y z A P D C B M N a b C D A B CD为a,b的公垂线, A，B分别在直线a,b上 已知a,b是异面直线, 4. 异面直线间的距离 z x y A B C C1 即 取x=1,则y=-1,z=1,所以 E A1 B1 5. 其它距离问题： （1）平行线的距离(转化为点到直线的距离） （2）直线与平面的距离（转化为点到平面的距离） （3）平面与平面的距离（转化为点到平面的距离） 练习1：如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点， （I）求证：AO⊥平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的大小； （III）求点E到平面ACD的距离. 解：（I）略 （II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系， 所以异面直线AB与CD所成角的 余弦值为 （III）解：设平面ACD的法向量为 则 令 得 是平面ACD的一个法向量，又 所以点E到平面ACD的距离 如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：(1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值; (2)OS与面SAB所成角的余弦值; (3)二面角B－AS－O的余弦值. O A B C S x y z 练习2： O A B C S x y z 如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：(1)异面直线SA和OB所成的 角的余弦值; O A B C S x y z 如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：(2)OS与面SAB所成角的余弦值 ; 所以OS与面SAB所成角的余弦值为 O A B C S x y z 所以二面角B－AS－O的余弦值为 如图，已知：直角梯形OABC中， OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC， 且OS=OC=BC=1，OA=2. 求：(3)二面角B－AS－O的余弦值. 练习3：如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点. (1)证明：PA//平面EDB； (2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值. A B C D P E G x y z * 例1 * 知识要点2 * 知识要点2 * 知识要点2 * 知识要点2 * 例1答案 * 例2 * 例2