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与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析
本文结合例题归纳六类与平行四边形有关的常见辅助线,供同学们借鉴:
第一类:连结对角线,把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如左下图1,在平行四边形 ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AE CF,请
你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已 有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)
⑴连结BF ⑵BF DE
⑶证明:连结 DB,DF,设DB, AC交于点0
四边形ABCD为平行四边形
AE FC ??? AO AE
四边形EBFD为平行四边形
? AO
OC,DO OB
OC FC
即OE
OF
?- BF
DE
图1
第二类:平移对角线,把平行四边形转化为梯形。 例2如右图2,在平行四边形 ABCD中,对角线AC和BD相交于点0,如果AC 12,
BD 10, AB m,那么m的取值范围是( )
A1 m 11 b2 m 22 c10 m 12 d5 m 6
解:将线段 DB沿DC方向平移,使得 DB CE ,DC BE ,则有四边形CDBE为平 行四边形「??在 ACE 中,AC 12,CE BD 10, AE 2AB 2m
? 12 10 2m 12 10,即 2 2m 22 解得 1 m 11 故选 A
第三类:过一边两端点作对边的垂线,把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例3已知:如左下图3,四边形ABCD为平行四边形
求证:
AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2
证明:过A,D分别作AE BC于点E , DF BC的延长线于点F
AC2
AE2
CE2
AB2
BE2
(BC
BE)2
AB2
BC2 2BE BC
BD2
DF2
BF2
(CD2
CF2)
(BC
CF)2
CD
2 2
BC 2BC CF
则AC2
BD2
AB2
BC2
CD2
DA2
;2BC
CF
2BC BE
??四边形 ABCD为平行四边形
? AB // CD 且 AB CD , AD BC
??? ABC DCF ?/ AEB DFC 90°
??? ABE DCF ? BE CF
2 2 2 2 2 2
? AC BD AB BC CD DA
F第四类:延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形。FA
F
第四类:延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形。
F
A
例4 :已知:如右上图4,在正方形ABCD中,E,F分别是CD、DA的中点,BE与
??? 13900 ?2 390
??? 1
3
900 ?
2 3
900
? CPB 900,则 KPB 90
? AP
AB
第五类:
延长一
边上一点与
顶点连线,
把平行四边形转化为平行线型相似三角形。
E为边CD上任一点,请你在该图基础
例5如左下图5,在平行四边形 ABCD中,点 上,适当添加辅助线找出两对相似三角形。
解:延长AE与BC的延长线相交于 F,则有
AED s FEC, FAB s FEC , AED s
FAB
D
CF交于P点,求证:AP AB
证明:延长CF交BA的延长线于点 K
???四边形 ABCD为正方形
AB //
CD 且 AB CD
,CD AD, BAD
BCD
D 90°
1
K 又???
D DAK 90°,
DF
AF
? CDF 也 KAF
AK
CD AB
1
?/ CE CD,DF
2
1
2
AD
? CE
DF
BCD D 90°
? BCE 也 CDF
1
2
第六类:把对角线交点与一边中点连结,构造三角形中位线
1
例6已知:如右上图6,在平行四边形 ABCD中,AN BN ,BE 丄BC , NE
3
交BD于F,求BF : BD
、矩形(梯形)等图形,解:连结AC交BD于点O ,连结ON
、矩形(梯形)等图形,
四边形
ABCD为平行四边形
? OA
OC,OB
OD
AN
BN
??? ON // - BC 且 ON
-BC
BE
1 -BC
2
2
BF
ON
BE
? BE:ON
2:3
2
3
FO
3
BF
2
? BF:BD
1:5
BO
5
BD
"2"
BF
FO
综上所述,平行四边形中常添加辅助线是:连对角线,平移对角线,延长一边中点与
顶点连线等,这样可将平行四边形转化为三角形(或特殊三角形)
为证明解决问题创造条件。
四边形
平行四边形出现,对称中心等分点。梯形问题巧转换,变为△和 □ 平移腰,移对角,两腰延长作出高。如果出现腰中点,细心连上中位线。 上述方法不奏效,过腰中点全等造。证相似,比线段,添线平行成习惯。 等积式子比例换,寻找线段很关键。直接证明有困难,等量代换少麻烦。 斜边上面作高线,比例中项一大片。
梯形的辅助线
口诀:
梯形冋题巧转换,变为△和□。平移腰
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