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导数专题一、单调性问题 2
导数专题二、极值问题 38
导数专题三、最值问题 53
导数专题四、零点问题 77
导数专题五、恒成立问题和存在性问题 118
导数专题六、渐近线和间断点问题 170
导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 190
导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 201
导数专题九、公切线解决导数中零点问题 214
导数专题十、极值点偏移问题 219
导数专题十一、构造函数解决导数问题 227
1 243
/
导数专题一、单调性问题
【知识结构】
【知识点】
一、导函数代数意义:利用导函数的正负来判断原函数单调性;
二、分类讨论求函数单调性:含参函数的单调性问题的求解,难点是如何对参数进行分类讨
论,讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系.
三、分类讨论的思路步骤:
第一步、求函数的定义域、求导,并求导函数零点;
第二步、以导函数的零点存在性进行讨论;当导函数存在多个零点的时,讨论他们的大小关
系及与区间的位置关系 (分类讨论);
第三步、画出导函数的同号函数的草图,从而判断其导函数的符号 (画导图、标正负、截定
义域);
第四步、(列表)根据第五步的草图列出 , 随 变化的情况表,并写出函数的
f ' x f x x
单调区间;
第五步、综合上述讨论的情形,完整地写出函数的单调区间,写出极值点,极值与区间端点
函数值比较得到函数的最值.
四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性,主要讨论点:
1.最高次项系数是否为 0 ;
2.导函数是否有极值点;
3.两根的大小关系;
4.根与定义域端点讨论等。
五、求解函数单调性问题的思路:
(1)已知函数在区间上单调递增或单调递减,转化为f (x) 0 或f (x) 0 恒成立;
(2 )已知区间上不单调,转化为导函数在区间上存在变号零点,通常利用分离变量法求解
参变量的范围;
(3 )已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间,转化为导函数在区间上大于零或小
于零有解.
六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法
(1)参变分离;
(2 )导函数的根与区间端点直接比较;
2 243
/
(3 )导函数主要部分为一元二次时,转化为二次函数根的分布问题.这里讨论的以一元二次
为主。
七、求解函数单调性问题方法提炼:
(1)将函数 单调增 (减)转化为导函数 恒成立;
f x f x 0
(2 ) ,由 (或 )可将 恒成立转化为
f x g x h x g x 0 g x 0 f x 0
h x 0 (或h x 0 )恒成立;
(3 )由“分离参数法”或“分类讨论”,解得参数取值范围。
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