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第1讲 函数及其表示
[考纲解读] 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概
念.(重点)
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函
数.(重点)
3.了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不超过三段).(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是高考中的一个热点.预测?2020?年会考查函数
的解析式与分段函数的应用,可能涉及函数的求值、函数图象的判断及最值的求解.
1.函数与映射
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域
在函数?y=f(x),x∈A?中,x?叫做自变量,x?的取值范围?A?叫做函数的eq?\o\ac(□,01)定义域;与?x
的值相对应的?y?值叫做eq?\o\ac(□,02)函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的eq?\o\ac(□,03)值域.
(2)函数的三要素:eq?\o\ac(□,04)定义域、eq?\o\ac(□,05)对应关系和eq?\o\ac(□,06)值域.
(3)函数的表示法
表示函数的常用方法有eq?\o\ac(□,07)解析法、eq?\o\ac(□,08)图象法和eq?\o\ac(□,09)列表法.
3.分段函数
(1)定义:若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的eq?\o\ac(□,01)对应关
系,这样的函数通常叫做分段函数.
(2)分段函数的相关结论
①分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
②分段函数的定义域等于各段函数的定义域的eq?\o\ac(□,02)并集,值域等于各段函数的值域的eq?\o\ac(□,03)并
集.
1.概念辨析
(1)对于函数?f:A→B,其值域就是集合?B.( )
(2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.( )
(3)A={1,4,9},B={-3,-2,-1,1,2,3}.
f:x→x?的平方根是?A?到?B?的映射.( )
(4)分段函数是一个函数,而不是两个或多个函数.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.小题热身
1
(1)下列图形中可以表示为以?M={x|0≤x≤1}为定义域,以?N={y|0≤y≤1}为值域的函
数的是( )
(2)函数?y=???2x-3+?
(2)函数?y=???2x-3+????1
?3 ?
????????????????????????????? B.(-∞,3)∪(3,+∞)
?2
?3 ?
C.???,3?∪(3,+∞)??????????????????? D.(3,+∞)
解析 观察图形可知,B,D?不是函数图象,A?中函数的值域不是{y|0≤y≤1},故选?C.
x-3的定义域为( )
A.??,+∞?
?2 ?
答案 C
3 ?3 ?
3 ?3 ?
解得?x≥??且?x≠3,所以已知函数的定义域为???,3?∪(3,+
解析 由?
??x-3≠0,
?
2??2??
C.y=
C.y=???+1?????????????????????????? D.y=???x2+1
同,不是相等函数;对于B,定义域和对应关系都相同,是相等函数;对于C,函数?y=???+
(3)下列函数中,与函数?y=x+1?是相等函数的是( )
3
A.y=(?x+1)2 B.y=?x3+1
x2
x
答案 B
解析 对于?A,函数?y=(?x+1)2?的定义域为{x|x≥-1},与函数?y=x+1?的定义域不
x2
x
1?的定义域为{x|x≠0},与函数?y=x+1?的定义域不同,不是相等函数;对于?D,定义域相
同,但对应关系不同,不是相等函数.
??2x+2,x≤0,??2x
??2x+2,x≤0,
??2x-4,x>0,??? 则?f[f(1)]的值为(
)
A.-10 B.10 C.-2 D.2
答案 C
解析 f(1)=21-4=-2,f[f(1)]=f(-2)=2×(-2)+2=-2.
(5)函数?y=f(x)的图象如图所示,那么,f(x)的定义域是________;值域是________;
其中只有唯一的?x?值与之对应的?y?值的范围是________.(图中,曲线?l?与直线?m?无限接近,
2
但永不相交)
答案 [-3,0]∪[1,4) [1,+∞) [1,2)∪(5,+∞)
解析 观察函数?y=f(x)的图象可知,f(x)的定义域为[-3,0]∪[1,4),值域是[1,+
∞),当?y∈[1,2)∪(5,+∞)时,只有唯一的?x?值与之对应.
? 1????? 1
? 1????? 1?? ?
2????? 2?? ?
D.?-1,-??∪?-??,1?
1-x2
-3x-21.函数?y=2x2 的定义域为(
-3x-2
A.(-
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