高中数学数列十种求通项及七种求及方法练习及含答案.docx

高中数列知识点总结 等差数列 的定义与性质 定义： an 1 an d （ d 为常数）， a a n 1 d n 1 等差中项： x， A， y 成等差数列 2 A x y 前 n 项和： Sn a1 an n n n 1 d na1 2 2 性质：（1）若 m n p q ，则 a a a p a ；（2） an 为等差数列 S an2 bn m n q n （ a，b 为常数，是关于 n 的常数项为 0 的二次函数） 等比数列 的定义与性质 定义： an 1 q （ q 为常数， q 0 ）， an a1qn 1 . an 等比中项： x、 G、 y 成等比数列 G 2 xy ，或 G xy . na1 (q 1) 前 n 项和： Sna1 1 qn （要注意公比 q ） 1 ( q 1) q 性质： an 是等比数列（ 1）若 m n p q ，则 a · a n a · a q m p 3．求数列通项公式 的常用方法 一、公式法 例 1 已知数列 { an } 满足 a 2a 3 2n ， a1 2 ，求数列 { an } 的通项公式。 n 1 n 解： an 1 2an 3 2n 两边除以 2 n 1 ，得 an 1 an 3 ，则 an 1 an 3 ，故数列 an } 是以 2n 1 2n 2 2n 1 2n 2 { 2n a1 2 1 为首项，以 3 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 an 1 (n 1) 3 ，所以 21 2 2 ( 3 n 1 )2 n 。 2n 2 数列 { an } 的通项公式为 an 2 2 二、累加法 an an 1 f ( n) 例 2 已知数列 { an } 满足 an 1 an 2n 1， a1 1，求数列 { an } 的通项公式。 解：由 an 1 an 2n 1得 an 1 an 2n 1则 an (an an 1 ) ( an 1 an 2 ) L (a3 a2 ) (a2 a1) a1 [2( n 1) 1] [2( n 2) 1] L (2 2 1) (2 1 1) 1 2[(n 1) ( n 2) L 2 1] (n 1) 1 2 ( n 1)n ( n 1) 1 2 (n 1)(n 1) 1 n2 所以数列 { an} 的通项公式为 an n2 。 例 3 已知数列 { an } 满足 a n 1 3a 2 3n 1， a 3 ，求数列 { an} 的通项公式。 n 1 解： an 1 3an 2 3n 1 两边除以 3n 1 ，得 an 1 an 2 1 ， 3n 1 3n 3 3n 1 an 1 an 2 1 则 n 1 n 3 3 n 1 3 3 三、累乘法 an f (n) an 1 例 4 已知数列 { an } 满足 a 1 2(n 1)5n a ， a 3 ，求数列 { an } 的通项公式。 n n 1 解：因为 an 1 2( n 1)5n an， a1 3，所以 an 0 ，则 an 1 2( n 1)5n ，故 an an an an 1 L a3 a2 a1 an 1 an 2 a2 a1 [2( n 1 1)5n 1][2( n 2 1)5n 2 ] L [2(2 1) 52 ][2(1 1) 51 ] 3 2n 1[ n(n 1) L 3 2] 5(n 1) (n 2) L 2 1 3 2n 1 n( n 1) 3 5 2 n! 2n 1 n( n 1) 所以数列 { an} 的通项公式为 an 3 5 2 n!. 例 5 （ 2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列 { an } 满足 a1 1， an a1 2a2 3a3 L (n 1)an 1( n 2) ，求 { an} 的通项公式。 解：因为 an a1 2a2 3a3 L (n 1)an 1 (n 2) ① 所以 an 1 a1 2a2 3a3 L ( n 1)an 1 nan ② 用②式－①式得 an 1 an nan . 则 an 1 (n 1)an (n 2) 故 an 1 n 1(n 2) an 四、待定系数法 （重点） 例 6 已知数列 { an } 满足 an 1 2an 3 5n ， a1 6 ，求数列 an 的通项公式。 解：设 an 1 x 5n 1 2(an x 5n ) ④ 将 an 1 2an 3 5n 代入④式，得 2an 3 5n x 5n 1 2an 2 x 5n ，等式两边消去 2an ，得 3 5n x 5n 1 2x 5n ，两边除