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矩阵理论 成都信息工程学院 李胜坤第一章 线性代数相关知识线性空间的定义与例子定义 如果数集 中任意两个数作某一运算后的结果仍在 中，我们就称数集 对这个运算是封闭的。对加，减，乘，除四则运算封闭的数集 称为数域。定义 设 是一个非空的集合,是一个数域，在集合 中定义两种代数运算, 一种是加法运算, 另一种是数乘运算, 并且这两种运算满足下列八条运算律：（1） 加法交换律（2） 加法结合律 （3） 零元素 在 中存在一个元素 ，使得对于任意的 都有（4） 负元素 对于 中的任意元素 都存在一个元素 使得 则称 是 的 负元素. （5） 数 1 （6） （7）（8）其中称这样的集合 为数域 上的线性空间。例 1 全体实函数集合 构成实数域 上的线性空间。例 2 复数域 上的全体 型矩阵构成的集合 为 上的线性空间。 例 3 实数域 上全体次数小于或等于 的多项式集合 构成实数域 上的线性空间.线性空间的基底，维数定义 设 为数域 上的一个线性空间。如果在 中存在 个线性无关的向量 使得中的任意一个向量 都可以由线性表出:则称 为 的一个基底；为向量 在基底 下的坐标。此时我们称 为一个 维线性空间，记为线性空间的子空间 定义 设 为数域 上的一个 维线性空间， 为 的一个非空子集合，如果对于任意的 都有那么我们称 为 的一个子空间。例1 对于任意一个有限维线性空间 ，它必有两个平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间以及线性空间 本身.子空间的交与和两个子空间的交: 两个子空间的和: 子空间交与和的性质 :1.若 和 都是 的子空间,则 和 也是 的子空间.2.3.4.两个子空间的直和: 如果 中的任一向量只能唯一表示为子空间 的一个向量与子空间 的一个向量的和, 则称 为 与 的直和.矩阵的特征值与特征向量定义 设 ，如果存在 和非零向量 ，使 ，则 叫做 的特征值， 叫做 的属于特征值 的特征向量。矩阵的特征值与特征向量的性质： （1） 阶矩阵 的属于特征值 的全部特征向量再添上零向量，可以组成 的一个子空间，称之为矩阵 的属于特征值 的特征子空间，记为 ，不难看出 正是特征方程组的解空间。（2） 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。 （3） 设 是 的 个互不同的特征值， 的几何重数为 ， 是对应于 的 个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量仍然是线性无关的。（4） 任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。（5）一个特征向量不能属于不同的特征值。矩阵的相似与相似对角化相似矩阵的性质： 相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱。定理： 阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是 有 个线性无关的特征向量。 定理： 阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。例1 判断矩阵是否可以对角化？ 解： 先求出 的特征值于是的特征值为 （二重） 由于 是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑于是从而不可以相似对角矩阵。内积空间定义： 设 是实数域 上的 维线性空间，对于 中的任意两个向量 按照某一确定法则对应着一