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众所周知,不等式解法是不等式这一板块的高考备考重点,其中,含有参数的不等式的问题,是主考命题的热点,又
是复习提高的难点。 (1)解不等式,寻求新不等式的解集;
(2)已知不等式的解集(或这一不等式的解集与相关不等式解集之间的联系),寻求新含参数的值或取值范围。
(3)注意到上述题型(2)的难度与复杂性,本专题对这一类含参不等式问题的解题策略作以探索与总结。
一、立足于“直面求解”
解不等式的过程是一系列等价转化的过程,对于有关不等式的“解”的问题,直面不等式求解,有时是问题解决的
需要,有时是解决问题的基础或手段。所给问题需要在获得不等式的解集或最简形成后,方可延伸或突破时,则要果断
地从求解不等式切入。 例 1.设关于 x 的不等式
(1)解此不等式; (2)若不等式解集为(3,+∞),求 m 的取值范围;
(3)若 x=3 属于不等式的解集,求 m 的取值范围
分析:着眼于不等式的等价变形,注意到这里 m >0,m 同乘以不等式两边,则不等式转化为 ax>b 型,于是可以 x
2 2
的系数 a 的取值为主线进行讨论。
解: (1)由题设,原不等式 m (x+2)>m +(x-3) (m R ,m≠0)
2
(m-1)x>m -2m-3 (1) ∴当 m>1 时,由(1)解得
2
当 m=1 时,由(1)得 x R; 当 m<1 且 m≠0 时,由(1)解得
∴ 当 m>1 时,原不等式的解集为 当 m=1 时,原不等式的解集为 R
当 m<1 且 m≠0 时,原不等式的解集为
(2)若不等式的解集为(3,+∞),则由(1)知应得
∴此时 m 的取值范围为{5}
(3)注意到 x=3 为不等式的解,将 x=3 代入( 1)得:3 (m-1)>m -2m-3 m -5m<0 0<m<5
2 2
∴此时所求 m 的取值范围为(0,5) 点评:对于(2),已知含参不等式的解集,要求的是所含参数 m 的取值
范围。对此,我们正是立足于( 1)直面求解,由已知解集的特征断定 m-1>0 以及 , m 的取值或取
值范围由此而产生。
例 2 .已知关于 x 的不等式组 的整数解的集合为{-2},求实数 R 的取值范围。
分析:由题设知,这一不等式组的解集只含有一个整数-2,那么当 x= -2 属于这一成员不等式时,该不等式的解集是何
种情形,这需要解出不等式后方可作出结论,故考虑以求解这一成员不等式切入并延伸。
解:不等式 x -x-2>0 (x+1)(x-2)>0 x<-1 或 x>2
2
∴不等式 x -x-2>0 的解集 A= (-∞,-1)∪ (2,+ ∞),显然-2 ∈A
2
不等式 2x +(2R+5)x+5R<0 (x+R)(2x+5)<0 ①
2
设这一不等式的解集为 B ,则由-2 B ,得:(-2+R)(-4+5)<0 R<2 ②
注意到(x+R)(2x+5)=0 的根为 x = -R, ,
1
∴ (1)当 时, 由①得 , 即 此时-2 B
(2)当 时,由①得
∵{
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