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丰富多彩的有理数竞赛题 现以 2000 年、 2001 年第十二届，第十三届“五羊杯” （广东省数学会举办）初中数学竞赛试题 的有理数竞赛题为例，介绍有关解题方法。 例 1 8 642 097 531 、6 420 875 319 、4 208 653 197 、2 086 431 975 、864 219 753 的平均数是 （）。 （A ）4 444 455 555 （B ）5 555 544 444 （C ）4 999 999 995 （D ）5 999 999 994 解 注意已知五个数的特点：右起 1 至 5 位每位数字之和为 1+3+5+7+9=25 ，6 至 10 位每位数 字之和为 0+2+4+6+8=20 ，于是五个数的平均数为 4 444 455 555 。选 A 。 例 2 已知 68 9 □□□ 20 312 ≈690 亿（四舍五入） ，那么其中三位数□□□有（）种填写的方 法。 （A ） 1 000 （B ）999 （C ）500 （D ）499 解 可填 500，501 ，502 ，…， 999 ，共 500 种填法。选 C。 例 3 不超过 700 π （π是圆周率）的最大整数是（） 。 （A ）2 100 （B ）2 198 （C ）2 199 （D ）2 200 解 ∵3.141 5 π3.141 6 ，故 2 199.05700 π2 199.12 。所以应选 C 。 例 4 （0.1+1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7+7.8+8.9 ） ÷（ 0.01+0.03+0.05+0.0 二次根式 【内容综述】 一般地，式子 叫做二次根式。在解决有关根式的化简与求值问题时，需要同学们熟 练地掌握根式的性质、运算法则等知识。另外，特别要掌握好如下的二个重要性质： （1） 。 （2 ） 【要点讲解】 在这一部分中，通过例题的解答，介绍有关二次根式的化简、求值、分母有理化等方面的知识， 同学们要认真体会其中的解题方法和技巧。 ★★ 例 1、化简 . 思路 通过分类讨论去掉根号。 解原式 例 2、化简 思路 用待定系数法把 11-6 表示成一个完全平方式。 解 设 11-6 （ 则 所以 解得 或 说明 本题还可用配方法来化简，请读者自己来试一试。 ★★★ 例 3 、 分母有理化 。 ★★★ 例 4 化简 思路 对分子进行重新的分解组合，使之与分母有公共的因式。 解法 1 原式 = ＝ 解法 2 原式 说明 对于这种分式型的根式问题的化简，常用的思路就是对于分子进行巧妙地分解、组合，使 之出现分母中的形式，达到化简的目的。 ★★★ 例 5 若 。 思路 先化简已知条件的复合二次根式，和所求化数式，然后再求值。 说明 本题通过变形已知条件得到 ，然后利用这个条件进行整体代换，大大简 化了运算过程。这种解题策略在条件求值问题中经常运用。 ★★★ 例 6 设 的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a-b （2b+1 ）的值。 ★★★★ 例 7 化简 由 当 时, 当 n-2 （除n=