基本积分公式课件.ppt

2/ 12 微积分 五 ② 一、基本积分公式 1.1 、积分法 1.2 、基本积分公式 二、直接积分法 2.1 、方法定义 2.2 、具体分项法 三、小结 13 个基本积分公式 3/ 12 微积分 五 ② 1.1 、积分法 ? ? ? x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 . 1 1 C x dx x ? ? ? ? ? ? ? ? ? 启示 : 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 : 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可 以根据求导公式得出积分公式 . ) 1 ( ? ? ? 2 1 1 ) (arcsin x x ? ? ? 比如 : . arcsin C x dx x ? ? ? ? ? ? ? ? 4/ 12 微积分 五 ② 1.2 、基本积分公式 ( k 是常数 ); ? 0 dx=C ⑴ ; C e x ? ; ln C a a x ? ; sin C x ? ; cos C x ? ? ? ? ⑵ ); 1 ( 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? C x dx x ; ln ⑶ ? ? ? C x x dx ? ? dx e x ⑷ ? ? dx a x ⑸ ? ? dx cosx ⑹ ? ? dx sinx ⑺ ? ? xdx 2 sec ; tan C x ? ? ? xdx 2 csc ; cot C x ? ? ? ? x dx 2 cos ⑻ ? ? x dx 2 sin ⑼ ; sec C x ? ; csc C x ? ? ? ? xdx x tan sec ⑽ ? ? xdx x cot csc ⑾ ; arctan C x ? ; arcsin C x ? ? ? ? dx x 2 1 1 ⑿ ? ? ? dx x 2 1 1 ⒀ 零常幂幂对，指无指有对； 三角有三对，原反只一对 . Back 5/ 12 微积分 五 ② 2.1 、直接积分法 利用基本积分公式、不定积分的基本性质，并结合被 积函数的恒等变形可求积分的方法称为 直接积分法。 例 1 求积分 . 2 dx x x ? 解 dx x x ? 2 dx x ? ? 2 5 C x ? ? ? ? 1 2 5 1 2 5 . 7 2 2 7 C x ? ? 根据积分公式⑵ C x dx x ? ? ? ? ? 1 1 ? ? ? x x x C x 2 2 5 2 7 7 2 ? ? ? ? ） 验证：（ 说明积分正确，也看出积分与导数的可逆关系 判断积分结果是否正确 , 只要对结果求导 , 看导数是否 等于被积函数 , 相等时 , 结果是正确的 , 否则是错误的。 6/ 12 微积分 五 ② ) ( 3 3 d dx x x dx dx x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 x dx u du x dx C a a dx a x x ? ? ? ln / ) 4 ( ? ? ? ? ? ? dx e dx x dx x x 2 2 2 7/ 12 微积分 五 ② 将被积函数化为几个函数的代数和，然后分项积分 . ⑴ 利用乘除法分项 例 1. 求 xdx x ) 2 ( ? ? 解： 原积分 = dx x x ) 2 ( 2 / 3 ? ? ? ? ? ? dx x xdx 2 / 3 2 C x x ? ? ? ? ? 2 / 3 1 2 / 3 1 2 C x x ? ? ? 2 / 5 2 5 2 2.2 、具体分项法 8/ 12 微积分 五 ② 例 2. 求 dt t t t ? ? ? 1 3 3 解： 原积分 dt t t ? ? ? ? ) 1 3 ( 2 dt t dt dt t ? ? ? ? ? ? 1 3 2 C t t t ? ? ? ? ln 3 3 3 dx x x x ? ? ? ? 1 2 3 2 dx x x x ? ? ? ? ? 1 ) 2 )( 1 ( C x x dx xdx ? ? ? ? ? ? ? 2 2 / 2 2 9/ 12 微积分 五 ② ⑵ 分子、分母加减同一个代数式，然后分项 例 3. 求 ? ? 2 2 1 x dx x 解： 原积分 = dx x x ? ? ? ? 2 2 1 1 1 dx x dx ? ? ? ? ? 2 1 1 C x x ? ? ? arctan 例 4. 求 ? ? ) 1 ( 2 2 x x dx 解： 原积分 = dx x x x x ? ? ? ? ) 1 ( 1 2 2 2 2 ? ? ? ? ? 2 2 1 1 x dx dx x C x x ? ? ? ? arctan 1 10/ 12 微积分 五 ② dx x x ? ? 2 4 1 dx x x ? ? ? ? ? 2 4 1