《高等数学》(北大第二版)3-4定积分的分部积分法..docxVIP

6 6?42 7!!=7?5?31 ^w=j^sinMxclY 3-4定积分的分部积分法与换元积分法则 定积分的分部积分公式 定理*1 ?设“(兀)及v (x )在k b ［上可导 且其导函数在［。仏］上连续，则 u(x)v(x)dx 二［“》0 月：-(* Q 兀“衣 dx 解原式=x arcsin.v 解原式=x arcsin.v =——+ 一,(1一兀?)2 d(l-x-) 12 2J° TOC \o 1-5 \h \z K 2 2 ￥ = —4-(1-才~卩■ 12 0 兀、3 , =—+ I 12 2 例2求定积分 /?=JjsinWxdx XCOS A,解 令“=sin Qn v/=sinx,则 u =(n - l)sin XCOS A, V = -cosx 、in“T 乂] 6 十 II 0u-2 2 . xcos xdv (n-l)jisinrt-2 X b =(?-!)￡-sin ￡ =(n - 1)J sin/z 2 .v(l -sin2 .v)dLr =5-仏2 -(?-!)/? — 由此得递推公式/ , 1 91 n H —二 ——rt-4 /i-4 n-6 ” I . ”-3 .刃-$ j /r n n—2 丹一 4 刃—6 于是 一 2k-\ 2k 3 2k-2 2A-22Z2上 2A-2 2Z 2“1 = 2血十1 X /] = ￡? sinxcLr = 1 r? - 2fe (M—l)!!兀，“ sm xck=- ： ,上=12■…； Jo (羽！ 2 『和*^论=°幻，fc = 012, --. Jo (2k+r)n 其中禎表示不超边的二W乘：如 n - I n — 3it n - 22 n - I n — 3 it n - 2 4 2 2 4 2 M为大于1的止奇数? 5 3 定积分的换元积分法则 设己知F（Q是3的f 原函数，g［IF（r） = /（r）,又假定 函魏=诚危因可ca如上有连勺导函数并便得何诚）］是有 A 意义的，则二円做）］二?吹）=/!/）］ ?做）r那么刃戦）］ 则是曲W螂L个原函熱 于是由于微积分基本定理可知 f/I曲）］0C吐=珂與）］|：=刃心］-刃磁切. 又若钊=幺场上=顿0?w 円 ^(/^] 一 川砍刖=F(a) - F(b) = f/(兀眩. 于是 f fg氐=f/1仮)]魏) 令c= %,=必 M % = 口 时，f = ￡Z； 令c= %,=必 M % = 口 时，f = ￡Z； ^c=b时，t—fl. 定理2?设f （x）在［人町上连续，0（f）在［a.p］ 上有连续的导函数，且当『在中变动时0（f） 在［人刃上变动，假定 0 （” ） = a. 0 （0 ） = b, a、b e\A.B ］ 则f /（x）d*=r/（0⑴）矿⑴人 77 夕（010（「 dr 说明： 1） 当fia，即区间换为［几a］时，定理I仍成立. 2） 必需注意换元必换限.原函数中的变量不必代回. 3）换元公式也可反过来使用，即 f⑴ d/= jy（3T）dx （令* =炉（/）） 或配元J?） 或配元 J?）阳）d『=f /］ ^（r）J dg） 配元不换限 例3计算『—x2 dr (a0). 解令.v = asint.则 d.v = ^coszdr,且 当兀=0时./ = 0；大=d时、/ = ：? 原式=??￡； COS2 rdf a x (1 4-cos2/)dr 旦+ 2 旦+ 2 2 ~zdz 例4计算j：詰!* 解令 F = J2 + 1 ?则 X =r 解令 F = J2 + 1 ?则 X = .dr = r d r,且 2 当 x = 0 时.f = 1; x = 4 时.0 = 3. 原式二j: 补例 K M 例 5 证明『cos Jidx = sin xdx 7T 证令 x = ^_r(OF —)，则 一 2 0 生 () r xdx = -^sinw(? -/)d/ =jj JT 1 cos x dr 例习题3?4 22■证明 f ?T(sin x)dx =(t f2 /(sin ?t)厶. rtt Jo ■八 i 皿 “ x sin x 并计算f dx? Jo 1 4 COS X 证「#(曲 x)dx Li * h . dx = —dt J (jt - / )/(sin( 7T - t))dt =町 f (sin t)dt - J tf (sin Dill =兀 j /(sin x)dx 一 J xf (sin x)(lx :.j xf (sin x)dx = — ￡ /(sin .v)必[ ?— K =兀 _t dx = -clt D L / (sin x)dx 二工(J： / (sin + R /(sin .r)dr)]