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2020年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。
在等比数列中，，，则的值为________．
在椭圆中，为长轴的一个端点，为短轴的一个端点，为两个焦点．若，则的值为________．
设，函数在区间上的最小值为，在区间上的最小值为．若，则的值为________．
设为复数，若为实数（i为虚数单位），则的最小值为________．
在中，，，边上的中线长为，则的值为________．
正三棱锥的所有棱长均为1，分别为棱的中点，则该正三棱锥的外接球被平面所截的截面面积为________．
设，满足：关于的方程恰有三个不同的实数解，且，则的值为________．
现有10张卡片，每张卡片上写有中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同．将这10张卡片放入标号为的五个盒子中，规定写有的卡片只能放在号或号盒子中．一种放法称为“好的”，如果1号盒子中的卡片数明显多于其他每个盒子中的卡片数，则“好的”方法共有________种．
二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（本题满分16分） 在中，．求的取值范围．
（本题满分20分） 对正整数及实数，定义 ， 其中表示不超过实数的最大整数，．若整数满足 ， 求的值．
（本题满分20分） 在平面直角坐标系中，点在双曲线上，满足为等腰直角三角形．求面积的最小值．
2020年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）
一、（本题满分40分）
如图，在等腰中，，为内心，为的中点，为边上一点，满足，延长线上一点满足，为的外接圆上劣弧的中点．证明：．（答题时请将图画在答卷纸上）
二、（本题满分40分）
给定正数，设，是个非负实数，满足
，
且对任意，有（这里，，）．
求的最小值．
三、（本题满分50分）
设，，，．证明：对整数，必有一个模4余1的素因子．
四、（本题满分50分）
给定凸20边形．用的17条在内部不相交的对角线将分割成18个三角形，所得图形称为的一个三角剖分图．对的任意一个三角剖分图，的20条边以及添加的17条对角线均成为的边．的任意10条两两无公共端点的边的集合成为的一个完美匹配．当取遍的所有三角剖分图时，求的完美匹配个数的最大值．
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