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.
2012 年高考训练题( 03)抽象函数问题
2011. 10.19
1. 设奇函数 f ( x) 在 (0,
) 上为增函数,且
f (1)
0 ,则不等式
f (x)
f (
x)
0 的解集
D )
x
为(
A. (
1,0) U (1, )
B . (
, 1) U (01), C . (
, 1) U (1,
)
D.( 1,0) U (01),
2. 设定义在 R 上的函数 f
x 满足 f x
f
x 2
13,若 f 1
2 ,则 f
99
(
C )
A. 13
B. 2
C.
13
D.
2
2
13
3. 定义在 R 上的函数
f ( x) 满足 f ( x
y)
f ( x)
f ( y) 2xy ( x, y
R ), f
(1)
2 ,
f ( 3) 等于( C )
A. 2
B
. 3
C. 6
D
.9
4. (辽宁卷
12 )设 f ( x) 是连续的偶函数,且当
x0
时 f ( x)
是单调函数,则满足
f ( x)
f
x
3
的所有 x 之和为(
C
)
x
4
3
8
8
A.
3
B
.
C
.
D
.
5.定义在 R 上的函数
f ( x) 既是奇函数,又是周期函数,
T 是它的一个正周期
. 若将方程
f ( x) 0
在闭区间
T, T 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为 D.
A.0
B.1
C.3
D.5
6. 已知定义域为 R 的函数 f(x) 在 (8,
) 上为减函数,且函数 y=f(x+8) 函数为偶函数, 则(
)
A.f(6)f(7)
B.f(6)f(9)
C.f(7)f(9)
D.f(7)f(10)
答案: D
f (x
8)
f (
x 8). 即 y
f ( x) 关于直线 x
8 对称。又 f(x)
解析:y=f(x+8)
为偶函数,
在 (8,
) 上为减函数,故在
(
,8) 上为增函数,
检验知选 D 。
7. 若 f(x)
是定义在 (0,+
∞) 上的增函数,且对一切 x> 0 满足 f ( x )
f (x)
f ( y) , 且 f(6)=1,
y
则不等式 f(x+3)-f(1/x)
< 2 的解集为
.
7. 抽象函数研究方法,赋值和创造使用对应法则及用单调性转化求解
. 令 x=y=1 可得 f ( 1)
=0;反复用对应法则
f ( x+3)-f ( 1 )=f ( x2+3x). 而 2=2f (6),且 x>0. 于是有 f ( x2+3x)
x
0< x2
-f ( 6)< f ( 6);即 f ( x2
3x )< f ( 6),可得
3x < 6,解之 ,0 < x<
3 3 17
6
6
2
8. 定义在 R 上的单调函数 f
x , f
3
log 2 3 ,对于任意的实数
m、n∈ R,都有 f(m+n ) = f(m)
f(n)成立,
若 f k ? 3x f 3 x 9x 2 0 对于任意的实数 R 恒成立,求实数 k 的取值范围 .
赋值 奇函数,单调性转化分离参数不等式求解
f k ? 3x
f 3x
9x
2 0, f k ? 3x
f 3x
9 x
2 ,
k ?3x
3x
9 x
2, k 3x
2
1,
k 2 2 1.
9.
3x
f x 1 . 若集合
函数定义在 R 上,对任意实数
m,n ,恒有 f
m
n f m f
n ,且当 x 0 时, 0
A
x, y f x2
f y 2
f 1
, B
x, y f ax
y 2 1,a
R
, 若 A
B, 则 实 数 a
的 取 值 范 围
是.
9. 创造使用对应法则和题设条件研究单调性切入,
理解集合意义, 化归直线和圆的特殊位置
求解 . 赋值,用定义和题设条件证明减函数
. 设 x
x
,x
2
x 0, 0
f x
2
x
1
,用对应法则
1
2
1
1
;.
.
f x21
f x1
x2
x1
f x1
f x2
x1 ,
f x2
1,
f x2
f x1
,即 f x 数上的减函数
. 由法 和
0
f x1
性 A 为 x2
y2
1,B为ax
y
2 0 上的点, A
B
, 位 和恒 定点的直 系相离或相切,
即
2
1 ,解得 数
a 的取 范
3, 3
.
a 2
1
10. 函 数 f(x)
对 任 意 x1,x 2
∈ R, 当 x1+x 2=1 时 , 恒 有 f(x 1)+f(x 2 )=1, 且
f(0)=0,
若
a =f(0)+f(1/n)+f(
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