人教版数学八年级上册 第十四章单元复习 整式的乘法与因式分解复习课及综合提高练习.docVIP

第十四章 整式的乘法与因式分解综合提高复习 一、学习目标： 1. 复习总结本章所学知识，包括幂的运算、整式的乘除、乘法公式及因式分解。 2. 归纳数学思想和数学方法，主要有整体思想、逆向思维和数形结合思想。 二、重点、难点： 重点：知识和方法的总结。 难点：实事求是地分析问题，灵活使用公式。 【思维导图】 【典型例题】 知识点一：幂的运算性质 例1. 计算： 思路分析：幂的混合运算中，先算乘方，再算乘除。 解答过程： 解题后的思考：，易错误地认为，得出错误结论为0。 小结：幂的运算是整式乘除的基础，应熟练、准确的掌握其运算法则。而准确掌握幂的运算法则的关键是要理解法则的来源。 知识点二：整式的运算 例2. 计算：，其中，。 思路分析：观察式子结构，确定运算顺序，应先去小括号，然后合并整理，最后计算除法。 解答过程： 当，时， 原式= 解题后的思考：在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中，一要注意运算顺序，二要熟练、正确地运用运算法则。 例3. 已知一个多项式与单项式的积为，求这个多项式。 思路分析：由于这个多项式乘等于，那么这个多项式就等于，从而转化为多项式除以单项式的运算。 解答过程： 所以，这个多项式为。 解题后的思考：多项式与单项式的运算，有加、减、乘、除、乘方、开方时，应先进行乘方、开方运算。 小结：整式的乘除法是学习分式乘除、二次根式的基础，必须熟练掌握。 知识点三：乘法公式的运用 例4. 已知，，求的值。 思路分析：解决本题的关键是把用含有的式子表示出来，由，再把已知代入即可得出。 解答过程：因为，， 所以， 解题后的思考：平方差公式和完全平方公式的各种变形也是很常用的，同学们也应熟练掌握。 例5. 已知代数式，你能把它化为（其中为常数）的形式吗？进一步的，你能求出这个代数式的最小值吗？此时的值又是多少？ 思路分析：可以把题中的加上9得，把题中的加上4得，当然，还得注意恒等变形。 解答过程： 因为，， 所以，这个代数式的最小值为7，此时，。 解题后的思考：将多项式经过配方、变形为完全平方的形式，再利用非负数的性质解题是常见的方法。 小结：除了平方差公式和完全平方公式外，还有许多其他的乘法公式，比如立方和公式、立方差公式。这些公式的各种变形、逆向使用都很常见，同学们应尽量掌握。 知识点四：因式分解 例6. 因式分解： （1） （2） （3） 思路分析： （1）中把化为，或者将化为，从而便于提取公因式； （2）中把看作一个整体，再分解因式； （3）除将化为－的形式外，还要明确运用提公因式法分解因式时，要提取相同字母的最低次幂。 解答过程：（1） （2） （3） 解题后的思考：此题是提公因式法及公式法的综合应用，一般需先提取公因式，然后再运用公式，其中（1）提取公因式后应用平方差公式；（2）（3）提取公因式后应用完全平方公式。要注意指数的奇偶性。 例7. 已知分别为的三边，试证明。 思路分析：本题中，已知为的三边，可想到利用三角形的三边关系，因为不等式的左边符合平方差公式的特点，可想到因式分解。 解答过程： 因为，为的三边 所以，，，， 即。 解题后的思考：要判断一个多项式的符号，经常采用的办法就是将其因式分解，从而把多项式符号的判断“分而治之”，只要判断每个因式的符号即可。 小结：将多项式变形为因式分解的形式，在以后很多类型的题中都会遇到，比如多项式的符号判断、方程的根、分式的运算、无理式的化简等。 知识点五：数学思想方法 1. 整体思想 例8. 若是完全平方式，求的值。 思路分析：利用配方法及整体换元法分解因式，从而求出的值。 解答过程： 设，则原式变形为 要使为完全平方式，则。 解题后的思考：整体思想也是一种重要的数学思想方法，它要求我们在研究数学问题时，不要只着眼于它的局部特征，而要把注意力放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻地分析，从宏观整体的角度来认识问题，整体代入或整体求解，该思想方法的运用可以使某些复杂的问题简单化。 2. 逆向思维 例9. 计算： （1） （2） （3） 思路分析：（1）题应巧妙地逆用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，在计算高指数幂中可起到简化作用； （2）题应逆用完全平方公式，简化解题过程； （3）题应逆用平方差公式进行计算。 解答过程：（1） （2） （3） 解题后的思考：逆向思维是指由果索因，知本求源，从原问题的相反方向着手的一种思维方式。数学定义、公式总是双向的，公式从等式左边到等式右边或从等式右边到等式左边，这样的转换正是由正向思维到逆向思维的体现。 在本章中逆向思维的方法应用较多，幂的运算法则、两个乘法公式等都可以逆用。运用该方法，可以使