名师讲堂：一线三等角最终定稿(主讲人：刘俊勇）123_201903061955411.docx

2016.09.18《中学数学教育》名师讲堂一线三等角专题讲座 2016.09.18 《中学数学教育》名师讲堂 一线三等角专题讲座 一线三等角 （主讲人：刘俊勇 统稿：郑梦前 策划：纪朋成） 说明：本次活动得到了于特、狮子、苏德杰、万伟华、林福凯及其他很多老师的支持，还有许多老师参与了材料的整理工作，郑梦前老师负责后期统稿。在此一并表示感谢！ “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形， 这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，义乌通常称为“K 形图”，哈尔滨通常称为“M 形图”，以下称为“一线三等角”，在义乌，主要是一线三直角，几乎是每年必考的压轴题一、“一线三等角”的起源 DE 绕 A 点旋转,从外到内，从一般位置到特殊位置. 图 1-1 图 1-2 图 1-3 二、“一线三等角”基本类型 1.同侧型（图 2-1） 图 2-1 图 2-2 2.穿越型（图 2-2） 三、“一线三等角”的性质 1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE. 当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△AEC∽△BDE. 图 3-1 图 3-2 中点型“一线三等角” 如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE. “中点型一线三等角“的变式 如图 3-3，当∠1=∠2 且?BOC ? 90? ? 1 ?BAC 时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”. 2 图 3-3 图 3-4 如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关， ?BOC＝90?＋ 1 ?BAC 这是内心的 2 性质，反之未必是内心. 在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF，交于点 P，则点 D 是△PEF 的旁心. “一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 ）  （于特） 图 3-5 其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解累，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用 “一线三等角”应用的三种情况. 图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； 图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题； c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题. 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时， 我经常构造“一线三等角”来解题. 在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段. 构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似 图 3-6 坐标系中，要讲究“线”的特殊性 如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角 当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。 上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不容易掌握. 解题示范 例 1 如图所示，一次函数 y ? ?x ? 4 与坐标轴分别交于 A、B 两点，点 P 是线段 AB 上一个动点（不包括 A、B 两端点），C 是线段 OB 上一点，∠OPC=45°，若△OPC 是等腰三角形,求点 P 的坐标. 例 2 如图所示，四边形 ABCD 中，∠C=90°,∠ABD=∠DBC=22.5°，AE⊥BC 于 E，∠ADE=67.5°，AB=6, 则 CE= . 例 3 如图，四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5.求 BC 的长. BC 这条线上有个 45°的特殊角，可以分别过 A、D 点构造同侧型一线三等角.如上图. 在坐标系中，主要考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的线上构造一线三等角，刚才这个还可以在水平线 上构造, 当然此题的正解我觉得还是母子相似，依据在有特殊角. 例 4 如图，△ABC 中,∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3,求 AD 的长. 一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙.找出相似形，比例不能少.巧设未知数，妙解方程好. 还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造 2例 5 如图，在△ABC 中，∠BAC=135°， AC ? 2AB, AD⊥AC 交 BC 于点 D，若 AD ? ， 求△ABC 2 的面积. 当然也有一个 45°或 135°，据此也可以构造不同的一线