北京大学2005年研究生入学考试高等代数与解析几何试题及答案2.docx

本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持! 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持! *2 *2 1. 在直角坐标系中, 其中B是常数 解: 可以验证点 2. 解: 北京大学 求直线 2005数学专业研究生 高等代数与解析几何。 丄,0, 2 5 - 把I写成参数方程: 点 p ： (x, y, z) 整理即知，I到 2x y z x y 2z 0 到平面 1 :3x By z 0的正交投影轨迹的方程。 I, 1,0,2 5 - ，从而I 3k 5k ,任取其上一点 上的正交投影轨迹满足方程 1 1 由于--,上述方程表示一条直线，而 3 1 上的正交投影轨迹是一条直线 从而I到 上的正交投影轨迹的方程就是 2*3 3x P:( 3x 3z 3k,2 5k, k）,设该点到 上的投影为 3z By By z 0 在直角坐标系中对于参数 的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状: 对于中心型曲线，写出对称中心的坐标; 对于线心型曲线，写出对称直线的方程。 1 1 石, ，容易验证TT 1 1 於，72 E，因此直角坐标变换 在这个变换下，曲线方程变为 (1 )x *2 (1 * 2 )y 1) 1时，1 0,1 0, 2) 1时，曲线方程为 3) 4) 0时，1 0,1 0时，曲线方程为 *2 x 2 0不同时成立，因此I到 2 y 2 xy x 是一个正交变换 y 曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为 是一对平行直线，是线心型曲线，对称直线为 0, 0,曲线为椭圆，是中心型曲线，对称点为 0,是一个点，是中心型曲线，对称点为 （0,0） 0. (0,0) y 0,即 (0,0) 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持! 本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持! 5) 1时，1 0,1 0, 0,曲线为虚椭圆，是中心型曲线，对称点为 (0,0) 6) *2 1时，曲线方程为x 1，是一对虚平行直线，是线心型曲线，对称直线为 2 7) 1时，1 0,1 0, 0，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为 (0,0) 3.设数域K上的n级矩阵 A的(i, j)元为ai bj （1）.求 I A； (2).当 n 2 时，a1 a2,b1 b2 ?求齐次线性方程组 AX 0的解空间的维数和一个基。 解： （1） |A| a1 b1 数为 a1 a2 blbl a1 a2 |A| |A| 则| A| a2 a1 a2 b1 b1M an 1 an a1 a2 b b1 b2 b2 a1 a2 an 1 an (a2 b2 b2M b2 b2 a1)(b2 a1 b3a2 b3 O an b3 b1) h a1 b2 ha2 b2 a bna2 bn M an 1 an bn bn b,） 0,方程组 AX 0只有零解, 其解空间维 3 ,则由（1）知道A的任意一个3级子式的行列式为0 , b2 一 的行列式为 @2 a1 )(b2 bl) 0，从而rankA 2 b2 于是方程组AX 0解空间的维数是n 2 ,取向量组 而A的一个2级子式 Ci2 n 2，其中i M , M Cn \o Current Document d bn i j b1 b2 b1 bn i - Gj , J b2 b1 1,j n i 0,其他 1,2,..., n 可知[1, n2] En ，其中 2 En 2 是 n 2阶单位矩阵, C是一个2*( n 2)的矩阵，从 而 rank ( 1, n 2) 1,2,..., n 2 n (ai k 1 bk )cik b2 bn i bl 因此 4. ( 1) 设数域 [C是什么? 证: b2 b2 bi bni 1) b2 bn i (b1 b1 b2 bi bn i b2b2 a bn i) 0 1, 2,..., n 2都属于方程组 AX 0解空间，从而是方程组 K上n级矩阵，对任意正整数 m，求Cm AX 0解空间的一组基 (2)用Mn(K)表示数域K上所有n级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为 矩阵组成的集合。 证明：U 对任意的 因此kA K上的线 a1 a2 a3 an a1 a2 a2 a3 a4 性空间。数域K上n级矩阵A an an 1 a1 称为循环矩阵。用 U表示K上所有n级循环 是Mn(K)的一个子空间，并求 U的一个基和维数。 a1 a2 a3 an an L a1 L a2 L an 1 L ，以及 k K，有 ai K kai K,(i 1,2,..., n) ai a2 a3 L an kai ka2 ka3 L kan an a1 a2 L an 1 kan kai ka2 L kan 1 L L L L L L L L L L a2 a3 a4 L a ka2 ka3