第17节 布尔代数的定义及性质 (2).pptVIP

第17节 布尔代数的定义及性质 (2);主要内容： 布尔代数的定义 布尔代数性质 布尔代数与布尔环的等价性;布尔代数的定义及实例;解： (1) 不难验证S110关于gcd 和 lcm 运算构成格. (2) 验证分配律 ?x, y, z∈S110 有 gcd(x, lcm(y, z)) = lcm(gcd(x, y), gcd(x, z)) (3) 验证它是有补格： 1作为S110中的最小元, 110为最大元； 1和110互为补元, 2和55互为补元, 5和22互为补元, 10和11互为补元, 从而证明了(S110, gcd, lcm)为布尔代数. ;例3 设B为任意集合, 证明: B的幂集格 (P(B), ∩,∪, ~, ? , B) 构成布尔代数. 证 (1) P(B)关于∩和∪构成格, 因为∩和∪运算满足 交换律, 结合律和吸收律. (2) 由于∩和∪互相可分配, 因此P(B)是分配格. (3)最小元是空集?,最大元是B. (4) 根据绝对补的定义, 取全集为B, ? x∈P(B), ~x是x 的补元. 从而证明P(B)是有补分配格, 即布尔代数. ;注意： 1、({0,1},∧,∨,?, 0, 1)，|{0,1}|=2 (S110, gcd, lcm)， S110 = {1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110}, | S110 | =8 |B|=n, (P(B), ∩,∪, ~, ? , B), | P(B)|=2n 问：一般有限布尔代数(B,∧,∨,?, 0, 1)的阶是多少？ 2、任一有限布尔代数(B,∧,∨,?, 0, 1)同构于某个有限 集S的幂集做成的(P(S), ∩,∪, ~, ? , S). ;布尔代数的性质;布尔代数的性质;布尔代数的性质;布尔代数的性质;布尔代数的性质;布尔代数的性质;布尔代数的性质;布尔代数的性质;布尔代数的性质;定义1? 设(B, ?,?)是一个至少含有两个元素的代数系统, ?和?是二元运算. 若?和?运算满足： (1) 交换律, 即?a,b∈B有a?b = b?a, a?b = b?a (2) 分配律, 即?a,b,c∈B有 a?(b?c) = (a?b)?(a?c),? a?(b?c) = (a?b) ? (a?c)? (3) 同一律, 即存在0,1∈B, 使得?a∈B有a ?1 = a, a?0 = a (4) 补元律, 即?a∈B, 存在 a?∈B 使得 a ?a? = 0, a?a? = 1 则称 (B,?,?)是一个布尔代数. 可以证明，布尔代数的两种定义是等价的. ; 设(B,∧,∨, ?, 0, 1)是一个布尔代数. 今借助于B中的运算∧,∨, ?，在B中定义两种 新的运算: 一种称为对称差，用“?”表示： ?a,b∈B，a?b=(a∧b?)∨(a?∧b) 或者 ?a,b∈B，a?b=(a∨b)∧(a∧b)? 另一种称为乘法，用“?”表示： ?a,b∈B，a?b=a∧b;布尔代数与布尔环的等价性;1．对于以下各题给定的集合和运算判断它们是哪一 类代数系统（半群、独异点、群、环、域、格、布 尔代数）, 并说明理由. (1) S1 = {1, 1/2, 2, 1/3, 3, 1/4, 4}, ?为普通乘法. (2) S2 = {a1, a2, ..., an}, ?ai, aj∈S2, ai°aj = ai, 这里的 n 为给定正整数, n1. (3) S3 = {0, 1},?为普通乘法. (4) S4 = {1, 2, 3, 6}, ?x,y∈S4, x°y与x?y分别表示 x 与 y 的最小公倍数和最大公约数. (5) S5 = {0, 1}, ?为模2加法, °为模2乘法. ;解： ;2．设(B,∧,∨, ?,0,1)是布尔代数, 证明：对于B中任意元素 a,b，有;练习2