立体几何的综合应用.docx

第 53 讲  立体几何的综合应用 1． (2016 新·课标卷Ⅰ)如图，已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形， PA＝ 6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于 点 G. (1)证明： G 是 AB 的中点； (2)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由 )，并求四面体 PDEF 的体积． 证明：因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D， 所以 AB ⊥PD . 因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E，所以 AB⊥DE. 因为 PD ∩DE＝ D，所以 AB⊥平面 PED ，故 AB⊥PG. 又由已知可得， PA＝PB，所以 G 是 AB 的中点． (2)在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F ，F 即为 E 在平面 PAC 内的正投 影． 理由如下：由已知可得 PB⊥PA，PB⊥PC，又 EF∥PB，所以 EF ⊥PA， EF⊥PC.又 PA∩PC ＝P，因此 EF⊥平面 PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影． 连接 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D， 所以 D 是正三角形 ABC 的中心． 由 (1)知， G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上， 2 CD ＝3CG. 由题设可得 PC⊥平面 PAB， DE ⊥平面 PAB， 2 1 所以 DE ∥PC，因此 PE＝ 3PG， DE ＝ 3PC. 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA＝ 6， 可得 DE ＝2， PE＝ 2 2. 在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EF ＝ PF＝ 2， 1 1 2× 2× 2＝ 4 所以四面体 PDEF 的体积 V＝3× 2× 3. 2． (2017 新·课标卷Ⅱ )如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 1 ABCD ，AB ＝ BC＝ 2AD, ∠ BAD＝∠ ABC＝ 90°. (1)证明：直线 BC∥平面 PAD； (2)若△ PCD 的面积为 2 7，求四棱锥 P-ABCD 的体积． 在平面 ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC＝ 90°，所以 BC∥AD .又 BC?平面 PAD，AD 平面 PAD，故 BC∥平面PAD. (2)如图，取 AD 的中点 M，连接 PM ，CM . 1 由 AB＝ BC＝ 2AD  及 BC∥AD，∠ABC＝ 90°得四边形  ABCM  为正方形，则  CM⊥AD . 因为侧面  PAD  为等边三角形且垂直于底面  ABCD ，平面  PAD ∩ 平面  ABCD ＝AD，所以 PM⊥AD， PM ⊥底面 ABCD . 因为  CM ?  底面  ABCD  ，所以  PM ⊥CM . BC＝ x，则 CM ＝ x，CD ＝ 2x，PM ＝ 3x，PC＝PD ＝ 2x.如图，取 CD 的中点 N，连 PN，则 PN⊥CD ， 14 所以 PN ＝ 2 x. 因为△PCD 的面积为 2 7，所以 1 2x× 14 2× 2 x＝2 7， 解得 x＝－ 2(舍去 )或 x＝2. 于是 AB ＝ BC＝2， AD ＝ 4， PM＝ 2 3. 所以四棱锥 P-ABCD 的体积 V＝ 1× 2 2＋ 4 × 2 3＝4 3. 2 3 3．(2014 新·课标卷Ⅰ)如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形， B1C 的中点为O，且 AO⊥平面 BB1C1C. (1)证明： B1C⊥ AB； (2)若 AC⊥ AB1，∠ CBB1＝ 60°， BC＝ 1，求三棱柱 ABC-A1B1C1 的高． 证明：连接 BC1，则 O 为 B1C 与 BC1 的交点．因为侧面 BB1C1C 为菱形，所以 B1C⊥BC1. AO⊥平面 BB1C1C，所以 B1C⊥AO， B1C⊥平面 ABO. 由于 AB ? 平面 ABO ，故 B1C⊥AB. (2)作 OD ⊥BC，垂足为 D，连接 AD.作 OH⊥AD ，垂足为 H. 由于 BC ⊥AO， BC⊥OD ，故 BC⊥平面 AOD, 0.n 所以 OH ⊥BC. OH ⊥AD ，所以 OH⊥平面 ABC . 因为∠CBB1＝ 60°，所以△CBB1 为等边三角形， 3 又 BC＝ 1，可得 OD ＝ 4 . 由于 AC ⊥AB 1，所以 OA＝ 1 1 2B1C＝ 2. OH ·AD ＝OD·OA，且 AD＝ OD2＋ OA2 ＝ 47， 21 得 OH ＝ 14 . 又 O 为 B1 C 的中点，