立体几何中的向量方法(2).docx

立体几何中的向量方法——求空间角、距离 1． 空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线 l1， l 2 的方向向量分别为 m1 ，m2，则 l1 与 l 2 所成的角 θ满足 cos θ＝|cos 〈m1， m2〉 |. (2)设直线 l 的方向向量和平面 α的法向量分别为 m， n，则直线 l 与平面 α所成角 θ满 sin θ＝ |cos〈 m， n〉 |. (3)求平面间夹角的大小 如图所示，平面 π与 π 相交于直线 l，点 R 为直线 l 上任意一点，过点 R，在平面 π 1 2 1 上作直线 l ⊥ l ，在平面 π 上作直线 l ⊥ l，则 l ∩l ＝ R.我们把直线 l 和 l 的夹角叫作平 1 2 2 1 2 1 2 面 π与 π 的夹角． 1 2 已知平面 π 和 π的法向量分别为 n 和 n 2. 1 2 1 π 当 0≤〈 n ， n 〉≤ 时，平面 π 与 π 的夹角等于〈 n ， n 〉； 1 2 2 1 2 1 2 π π2 的夹角等于 π－〈 n1， n2〉． 当 <〈n1， n2〉≤ π时，平面 π与1 2 2.点面距的求法 → |AB·n| 如图，设 AB 为平面 α的一条斜线段， n 为平面 α的法向量， 则 B 到平面 α的距离 d＝ |n| . [ 难点正本 疑点清源 ] 1．向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化， 避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻 烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算 向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算． 2．利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面 α、 β的向量 n1 ，n2 时，要根据 向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量 n1， n2 的夹角是相等， 还是互补． 3．求点到平面距离的方法： ① 垂面法：借助面面垂直的性质来作垂线， 其中过已知点确定 已知面的垂面是关键； ② 等体积法， 转化为求三棱锥的高； ③等价转移法； ④ 法向量法． 1．若平面 α的一个法向量为 n＝ (4,1,1) ，直线 l 的一个方向向量为 a＝ ( －2，－ 3,3)，则 l 与 α所成角的正弦值为 _______ ． 答案 4 11 33 解析 ∵ n·a＝－ 8－ 3＋ 3＝－ 8， |n|＝ 16＋ 1＋ 1＝ 3 2， |a|＝ 4＋ 9＋ 9＝ 22， n·a － 8 4 11 ∴ cos〈 n， a〉＝ |n| |a·|＝ 3 2× 22 ＝－ 33 . 又 l 与 α所成角记为 θ，即 sin θ＝ |cos〈 n，a〉 |＝ 4 11 33 . 2．若直线 l 的方向向量与平面 α的法向量的夹角等于 120 °，则直线 l 与平面 α所成的角等 ________． 答案 30° 解析 由题意得直线 l 与平面 α的法向量所在直线的夹角为 60°， ∴ 直线 l 与平面 α所 成的角为 90°－ 60°＝ 30°. 3．从空间一点 P 向二面角 α— l— β的两个面 α，β分别作垂线 PE，PF ，垂足分别为 E，F ，若二面角 α— l — β的大小为 60°，则∠ EPF 的大小为 __________ ． 答案 60°或 120° 如图所示， 在空间直角坐标系中， 有一棱长为 a 的正方体 ABCO— A′ B′ C′ D′，A′C的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为 ________． 2 答案 2 a 解析 由图易知 A(a,0,0)， B( a，a,0)， C(0，a,0)， A′( a,0， a)． F a， a2， 0 ， E a2， a2， a2 . ∴ EF＝ a 2 a a 2 a 2 a－2 ＋ 2－ 2 ＋ 0－ 2 a2 a2 2 ＝ 4 ＋ 4 ＝ 2 a. 5．在棱长为 2 的正方体 ABCD —A1B1C1D1 中， O 是底面 ABCD 的中点， E，F 分别是 CC1， AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD 1 所成的角的余弦值等于 ________． 答案 15 5 解析 以 D 为原点，分别以 DA 、 DC、DD 1 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系， F(1,0,0) ，D 1(0,0,2) ， O(1,1,0) ， E(0,2,1) ， → ∴ FD 1＝ (－ 1,0,2) ， → OE＝ (－ 1,1,1) ， → → 1＋ 2 15 ∴ cos〈 FD 1， OE〉＝ ＝ 5 . 5· 3 题型一 求异面直线所成的角 例 1 如图，已知正方体 ABCD —A1B1C1D1 的棱长为 2，点 E 是正方形 BCC1B1