高中数学3.4基本不等式学案新人教A版必修5.docx

．4 基本不等式 第一课时 课前预习学案 一、预习目标 不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理。 二、预习内容 一般地，对于任意实数 a 、 b ，我们有 a 2 b 2 2ab ，当 ，等号成立。 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，字母表示： 。 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 教学目标 a2 b 2 2ab ，不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推 导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式  a b ab 的证明过程； 2 【教学难点】 基本不等式 a b ab 等号成立条件 2 合作探究 1 证 ; a2 b 2 2ab 强调： 当且仅当 a b 时, a2 b 2 2ab 特别地 , 如果 a 0,b 0, 用 a和 b 分别代替 a、 b ,可得 a b 2 ab , 也可写成 ab a b (a 0,b 0) , 引导学生利用不等式的性质推导 2 证明 : 结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数  ab  a b 2 探究 2：课本中的“探究” 在右图中， AB是圆的直径，点 C 是 AB上的一点， AC=a,BC=b。过点 C 作垂直于 AB的弦 DE， 连接 AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式 几何解释  b ab的 2 练习 1 若 0 a b 且 a b 1，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 Ｂ． a2 b2 Ｃ． 2 ab Ｄ． a 2 2 a , b 是正数，则 a b , ab, 2ab 三个数的大小顺序是 （ ） 2 a b Ａ． a b ab 2ab Ｂ． ab a b 2ab 2 a b 2 a b Ｃ． 2ab ab a b Ｄ． ab 2ab a b a b 2 a b 2 答案 B C 例题分析： 已知 x、 y 都是正数，求证： y x ≥2； y ( 2 ） Ｘ＞ 0，当Ｘ取何值时Ｘ + 1 有最小值，最小值是多少 x 分析： a 2 b 2 2ab ，注意条件 a、 b 均为正数，结合不等式的性质 ( 把握好每条性 质成立的条件 ) ，进行变形 . 1 正 2 定 3 相等 5 1 变式训练： 1 已知 x＜ 4，则函数 f （ x）＝ 4x＋ 4x－ 5的最大值是多少？ 证明：（ x＋ y）（ x2＋ y2）（ x3＋y3）≥８ x3y3. 分析：注意凑位法的使用。 注意基本不等式的用法。 当堂检测： 1. 下列叙述中正确的是（ ） . A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数 B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数 C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值 D）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值 2 下面给出的解答中，正确的是（ ） . 1 1 （ A） y＝ x＋ x≥2 x· x＝ 2，∴ y 有最小值 2 4 4 （ B） y＝ |sin x| ＋ |sin x| ≥ 2 |sin x| ·|sin x| ＝ 4，∴ y 有最小值 4 x－ 2x＋ 3 2 －x＋ 3 2 （ C）y＝x（－ 2x＋ 3）≤（ ） ＝（ ） ，又由 x＝－ 2x＋ 3 得 x＝ 1，∴ 2 2 2 当 x＝ 1 时， y 有最大值（ － 1＋3） ＝1 2 （ D） y＝ 3－ x－ 9 x· 9 ≤ 3－ 2 ＝－ 3， y 有最大值－ 3 x x 4 3. 已知 x＞ 0，则 x＋ x＋ 3 的最小值为（ ）. （ A） 4 （ B） 7 （ C） 8 （ D）11 1 4. 设函数 f （ x）＝ 2x＋ x－ 1（ x＜0），则 f （ x）（ ） . （ A）有最大值 （ B）有最小值 （ C）是增函数 （ D）是减函数 答案 1 B 2.D 3 B 4.A 课后练习与提高 已知 x 、 y都是正数，求证： 如果积 xy 是定值 P，那么当 x=y 时，和 x+y 有最小值 2 p 1 ② 如果和 x y 是定值 S，那么当 x=y时，积 xy有最大值 S 2 [ 拓展探究 ] 2. 设 a, b, c (0, ), 且 a+b+c=1，求证： ( 1 1)( 1 1)(1 1) 8. a b c 答案： 1 略 2 提示可用 a+b+c 换里面的 1 ，然后化简利用基本不等式。 第二课时基本不等式的应用 课前预习学案 一、预习目标 会应用基本不等式求某些函数的最值 , 能够解决一些简