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第3 讲 立体几何中的向量方法
ABC A B C BCA M N A B A C
1.(20xx·课标全国Ⅱ)直三棱柱 - 中,∠ =90°, , 分别是 , 的中
1 1 1 1 1 1 1
BC CA CC BM AN
点, = = ,则 与 所成角的余弦值为( )
1
1 2 30 2
A. B. C. D.
10 5 10 2
A B D DCBA AA B B ADD A
2.(20xx·安徽)如图所示,在多面体 中,四边形 , ,
1 1 1 1 1 1 1
ABCD E B D A D E CD F
均为正方形, 为 的中点,过 , , 的平面交 于 .
1 1 1 1
EF B C
(1)证明: ∥ ;
1
(2)求二面角E A D B 的余弦值.
1 1
以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点,与空间线面关系的证明相结合,热点为
二面角的求解,均以解答的形式进行考查,难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算
上.
热点一 利用向量证明平行与垂直
l a a b c a b c v
设直线 的方向向量为 =( , , ),平面α 、β 的法向量分别为μ =( , , ),
1 1 1 2 2 2
a b c
=( , , )则有:
3 3 3
(1)线面平行
l a a aa bb cc
∥α ⇔ ⊥μ ⇔ ·μ =0⇔ + + =0.
1 2 1 2 1 2
(2)线面垂直
l a a k a ka b kb c kc
⊥α ⇔ ∥μ ⇔ =μ ⇔ = , = , = .
1 2 1 2 1 2
(3)面面平行
v v a a b b c c
α ∥β ⇔μ ∥ ⇔μ =λ ⇔ =λ , =λ , =λ .
2 3 2 3 2 3
(4)面面垂直
v v aa bb cc
α ⊥β ⇔μ ⊥ ⇔μ ·=0⇔ + + =0.
2 3 2 3 2 3
ADE BCF ABFE ABCD
例1 如图,在直三棱柱 — 中,面
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