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典型例题与习题4 插值型求积公式: 求积系数 求积余项 等距结点插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,偶数阶Newton-Cotes公式至少有(n+1)阶代数精度 2/16 求积结点 1.梯形公式 复合梯形求积公式 令h=(b-a)/n 求积余项 3/16 2. 辛卜生公式 求积余项: 两点高斯型数值求积公式 4/16 练习: 复合辛卜生公式求积余项? 一阶向前差商 一阶向后差商 二阶中心差商 一阶中心差商 5/16 外推算法 练习：二阶中心差商的外推公式？ 6/16 1. Euler方法 常微分方程初值问题 2. 梯形公式: 7/16 预测-校正公式 局部截断误差 设 yn= y(xn), 称Rn+1=y(xn+1) - yn+1为局部截断误差 常表示为: O(hp+1)， p 称为单步法的精度阶数 又称为修正的Euler公式 yn+1= yn+ 0.5h[ k1+ k2] k1=f(xn,yn), k2=f(xn+h, yn+hk1) 8/16 Ex1.推导左矩形求积公式 令 F(u)= F(a) + (u-a)F’(a) +0.5(u-a)2F ”(?) 练习: 9/16 Ex3. 求复合中矩形公式 的求积误差? Ex2.复合左矩形求积公式的求积误差 设被积函数在积分区间上的一阶导数连续,由连续函数介值定理 ? 10/16 Ex4.利用复合梯形公式计算积分 使其截断误差不超过 0.5×10-3,应算多少次函数值？ 提示： 练习: 给定积分 当要求误差小于10-3时用复合梯形公式和Simpson公式计算时, 需要计算多少次函数值？ 11/16 Ex5. 验证，复合梯形公式与复合Simpson 公式之间有如下关系 12/16 Ex6. 定积分 的计算问题可化为初值问题 y’= f (t) , y(a)=0 试证明用Euler公式计算结果为 其中, h = (b – a )/N, tn= a + n h ( n = 0,1,2,···, N) Ex7. 试证明4阶Range-Kutta公式解[a, b]内初值问题 y’= f (x) , y(a)=0 结果有: 其中, h = (b – a )/N, xn= a + n h ( n = 0,1,2,···, N) 13/16 Ex8.将线性常系数非齐次高阶常微分方程初值问题: y(n) + a1 y(n-1) + a2 y(n-2) +·······+ an y = f( x, y, ····, y(n-1)) y(x0)=y00, y’(x0)=y01, y”(x0)=y02,··· y(n-1)(x0)=y0,n-1 转化为一阶线性常微分方程组问题,并成出矩阵形式 解: 令 y1(x)=y(x), y2(x)=y’(x), y3(x)=y”(x),····, yn(x)=y(n-1)(x), ? 14/16 Ex9. ? 初值问题 有解y(x)=0.5a x2 + b x 。若取 xn = nh，yn为欧拉方法得到的数值解，试证明 y(xn) – yn = 0.5 a h xn 若取 xn = nh，yn为用梯形公式计算所得的数值解，记y(xn)为初值问题的在x=xn处的解析解。试证明: y(xn) = yn Ex10. ? 初值问题 15/16