20xx年高三数学数形结合常用的工具.doc

山东莘县观城中学高三年级数学组 郭银生 数形结合就是对题目中的条件和结论既分析其代数意义又分析其几何意义， 通过数与形 的相互转化来解决数学问题的一种数学方法，它的本质是“以形助数，以数定形” ，数学家华罗庚曾言：“数形结合百般好， 割裂分家万事休。 ”数形结合思想是高中数学主要的四大思想之一，是每年高考试题必考的内容，高考试题常以下列方式出现：①研究方程根的情况， ②讨论函数的值域， ③求变量的取值范围④解不等式。笔者就常用的“以形定数” 的工具归 纳如下，以求抛砖引玉之效。 一、韦恩图 韦恩图是解决集合运算问题常用的工具，还可证明一些常用的恒等式，如 A∩ B=A∪ B A=B,A=A∩ B A B B=A∪ B， CU (A∩ B)= C U A∪ CU B, C U (A ∪ B)= C U A∩ CU B 等。 例 1.某班 50 人中，参见数学竞赛的 25 人，参加化学竞赛的 32 人，求既参加数学竞赛又参加化学竞赛的人数的最大值和最小值。 解：设两科都参加的人数是 x 人，则参加化学竞赛和参加数学竞赛的人数分别是 32-x,25-x 根据题意的实际意义得： 7≤ x≤ 25  32 x 0 25 x 0 ，解不等式可得 25 x 32 x x 0 x 32-x 25-x ∴两科都参加得人数的最大值是 25 和最小值是 7 二、数轴 例 1．（ 1）（ 2020 上海春， 5）已知集合 A={ x||x|≤2， x∈ R} ， B={ x|x≥ a} ，且 A B，则 实数 a 的取值范围是 _____. 解析：（ 1） a≤－ 2； ∵ A={ x|－ 2≤x≤ 2} ，B={ x|x≥a} ，又 A B，利用数轴 上覆盖关系， 因此有 a≤－ 2. 点评：利用韦恩图和数轴可以直观地解决集合问题 三、斜率公式 y= y2 y1 x2 x1 分式型的最值问题可以通过变形 ,利用斜率公式解决。 例 3．函数 y= 3 sin x 最大值是 ，最小值是 。 2 cos x 解：函数解析式表示经过 A （－ cosx,sinx ）和 B（ 2，3） y B(2,3) 两点连线的斜率 k，A 在单位圆 x 2 +y 2 =1 上，经过 A 和 B 两点的直线方程为 y-3=k(x-2) x 即 kx-y+3-2k=0, 由直线和圆的位置关系得 3 2k ≤1 解之可得 ; 6 2 3 ≤ k≤ 6 2 3 1 k 2 3 3 所以函数得最大值是 6 23最小值是6 23。 3 3 四、两点间的距离公式 求通过变形可以出现 （ x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 的模式的式子的最值问题，可以优先考 虑两点间的距离公式的利用 y 例 4．函数 y= 2 12x 52 2 4x 5 的最小值 4 A x x 为 。 3 ( x 6) 2 (0 4)2 - ( x 2) 2 (x 1) 2 2 解析：函数可化为 y= 1 B 这个式子表示 P(x,0) 到点 A(6,4) 和点 B(2,1) 的差， P o x 由右图可知，当 P、A 、 B 三点共线时， -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 ︱PA︱ -︱ PB︱≤︱ AB ︱ , ︱AB ︱ =5 函数取得最大值为 5 提示： a 2 +b 2 ＝（ a 2 b 2 ） 2 ＝（ (a 0)2 (b 0)2 ） 2 , 表示点（ a,b）到原点的距 离。 五、直线方程 y=kx+b (k≠ 0) 求含有两个变量的线性式子的最值，可以构造直线方程，利用截距的意义解决问题。 这一应用在线性规划中体现的很充分———求线性目标函数的最值。 2 例 5．已知 x,y 满足条件 xy ＝ 1，求 y-3x 的最小值和最大值 25 解：令 y-3x=b, 即 y=3x+b y 3x b 2 2 由 联立可得： 169 2 ＋ 966y +16b -400=0, 令⊿≥ 0 得： x 2 y 2 x 1 25 16 13≤ b≤ 13 ∴y-3x 的最小值和最大值分别是－ 13 和 13。 六、圆或半圆（单位圆） 例 6．已知 sin +sin = 1 , cos +cos = 1 ， 求 tan( + )的值 4 3 解: 点 A （ cos ，sin ）B(cos ,sin ) 都在单位圆上，由已知可知 A和B的中点 C坐标 1 1 ( , ),则直线 AB 过定点 C 8 6  y B C A o x ∠xOC= + = 2 2 ∴tan∠xOC= tan 3 2 = 2 * 3 4 24 ∴tan( + )= 4 = 9 7 1 16 点评：另外，单位圆中的三角函数线可以辅助解决三角不等式（组）问题。