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2020 年各地高考模拟立体几何部分创新试题之四
1.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, AA1
= 1 ,点 E、F分别在棱 A1D1、 AB 上滑动,且线段
EF的长恒
等于 2,则线段 EF的中点 P 的轨迹是
A.圆的一部分
B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分
D.抛物线的一部分
D
1
C1
E
A
B1
1
D
C
A
F
B
2.已知
ABCD—A B C D
是棱长为
a
的正方体,
P、Q
是上的动点,且
PQ
长为 (
是常数,
0
b 3a
)
1
1
1
1
的线段,那么四面体
PQDC 的体积是
A.常量
B.变量有最大值
C.变量有最小值
D.变量有最小值也有最大值
1
D
1
C
A1
1
P
O
Q
3.设长方体的三条棱长分别为
,若长方体所有棱的长度之和为
24,一条对角线长度为
5,
a、b、c
1
1
1 等于
体积为 2,则 a
b
c
A. 11
B. 4
C. 11
D. 2
4
11
2
11
4.将四个半径均为 1 的小球两两相切,且又与一个大球都相切,则四个小球与大球的四个切点所构成正四面体的表面积为
A. 4
3
2
B. 3
2
C.12
3
2
D.4 3
2
5.下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是
A B C D
6.如右图所示,在单位正方体
ABCD—A B C D
的面对角线
A B 上存在一点
P使得 AP
D1 P 最短,
1
1
1
1
1
则 AP
D1P 的最小值为
A.2
B.26
C. 2
2D.
2
2
2
D1 C1
A1 B1
D
P
C
A
B
7.一个棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形,另一个是边长为
1 的正三角形,这样棱锥的
体积等于
写出(两个可能的值 )
8.如图所示, △ ADB 和 △ CBD都是等腰直角三角形。 且它们所在的平面互相垂直, ∠ ADB = ∠CBD
90°,AD = a.
A
P
D
B
C
(Ⅰ)求异面直线
AD, BC 所成的角;
(Ⅱ)设 P 是线段 AB 上的动点, 问 P、B 两点间的距离多少时,
△PCD 与△ BCD 所在平面成 45°
角?
(Ⅲ)证明:
A、B、C、D
四点所在球面的面积为
,求
S
的值。
S
9.如图,棱长为 1
的正方体 , M、N 为 BB1、AB 的中点, O 是 B1C 的中点,过 O 作直线与 AM 交于
P,与 CN 交于 Q.
1
C1
D
1
A
1
B
O
D
M
C
A
N
B
(Ⅰ)求 PQ 的长度;
B 内有一动点 T,它到直线 DD 的距离减去它到 P 点
(Ⅱ)将平面
A B 无限延展开来,设平面 A
1
1
1
的距离的平方差为
1,请建立适当的直角坐标系,求出动点
T 所构成曲线 K 的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,请说明以
PB 为直径的圆与曲线
K 是否有交点,如果有请求出;如果
没有请使用适当的文字加以说明
10.如图,直三棱柱
—
1 1 1中,∠
ACB
=90°, =
AC
= 2 ,
AA
1=4,
D
为棱
1 上的一动
ABC
A B C
BC
CC
点, M、 N 分别为△ ABD、△ A B D 的重心.
1
1
(Ⅰ)求证:
MN
BC ;
(Ⅱ)若二面角 C— AB—D 的大小为 arctan 2 ,求点 C1 到平面 A1B1D 的距离;
(Ⅲ)若点 C 在△ ABD 上的射影正好为 M,试判断点 C1 在△ A1B1D 的射影是否为
N?并说明理由.
[ 参考答案 ]
1.A
2.A
4.A
5.B
6.D
1
1
1
2
2
2
2
7.如图甲, V
3SABC
AD
3
2
2
2
2
24
.
如图乙,
AD
BD AB
AC
BC
1
, DC
2 ,取
DC
中点
,则
⊥ 平面
E
DC
ABE. V
1S ABE DC
1
1
2
2
2
2 如图丙, V
1 S
ABC
AD
1
3 1
3 .
3
3
2
2
2
12
A
3
3
4
12
D
D
1
1
1
2
1
1
E
2
1 2
B
D
1
2
2
A
C
1
2
B
2
A
1
C
1
1
1
2
B
C
2
(图甲 )
(图乙 )
(图丙 )
答案: 2, 2, 3中的两个
24 12 12
8.解:( Ⅰ )由题知 AD⊥ DB, CB⊥BD。
又二面角 A— DB—C 为 90°,
∴ AD、 BC成角为 90°。
( Ⅱ )作 PE⊥ CD 于 E,DF⊥DB 于 F,可知 F 为 P 在面 DBC 内的射影,
EF⊥ CD
二面角 P—DC—B 的平面角即为 ∠ PEF,
当 ∠ PEF
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