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最小二乘法原理及算例;实例讲解;数据表格;; ;计算出它的正规方程得
解得: a=0.15 , b=0.859 直线方程为:y*=0.15+0.859x
;一 问题的提出
插值法是使用插值多项式来逼近未知或复杂函数的,它 要求插值函
数与被插函数在插值节点上函数值相同 ,而在其他点上没有要求。在非
插值节点上有时函数值会相差很大 。若要求在被插函数的定义区间上,
所选近似函数都能与被插函数有较好的近似,就是最佳逼近问题。
最佳逼近是在函数空间 M中选 P(x) 满足
但由于绝对值函数不宜进行分析运算,常将上式化为
来讨论 ,于是最佳逼近问题变为最佳平方逼近问题 ,而离散的最佳平方逼
进问题就是常说的曲线拟合
它们都可用最小二乘法求解。
;曲线拟合的最小二乘法; ?最小二乘法的求法;;?最小二乘法的几种特例;;例 题;;二 线性最小问题的存在与唯一;2 最小二乘解的存在性与唯一性
定理 :x* 为Ax=b 的最小二乘解充要条件
AT A X * =AT b
证明 :充分性:若存在X* ,使 AT A X * =AT b 则对任意向量
令 x?=x* +y 有
?? b– Ax ?? 22 = ?? b –AX*?? 22–2(y,AT( b –AX*))+ ?? A y ?? 22
= ?? b –AX*?? 22 + ?? A y ?? 22 ? ?? b –AX*?? 22
?X*为Ax=b的最小二乘解。
必要性: 令 ?? b –AX?? 22=?(x1,x2,?,x n)= ?(x)
则由多元函数极值的必要条件知,若X*为极值点, 则
? ?(x) |
—— | =0
? x i |x=x*
;而?(x1,x2,?,x n)=b T b – 2Ax+(Ax)TAx
? ?(x)
由 —— =0 (i=1,2, ? n) ATAx=ATb。
? x i
?若x*为Ax=b最小二乘解,则AT A x *=ATb。证毕
AT A x =AT b 称为最小二乘问题的 Ax=b法方程组。当A =(aIj)m?n 的秩为n ,既A的列线性无关时, AT A x =AT b有唯一解。
;三 线形模型的正规方程; n
设离散数据模型 ?(x)= ?c j ?j(x)
j=0
则求解归结为 n+1元函数S的 极值问题:
m n
S(c0,c1,…,c n)= ? ?i [ y i ˉ? c j ?j(xi)] 2
i=0 j=0
显然S达最小值必要条件是
? S m n
— =2 ? ?i [ y iˉ ? c j ?j(xi)] ? k(x i)= 0
? C k i=0 j=0 (k=0 ,1,…,n)
这是关于 c0,c1,…,c n 的方程组,
n
改写成 ? (?j ,? k) c j =(y, ? k ) (k=0,1,2,…n)称为正规方程组
j=0
其中
m n
(?j ,? k )= ? ? ?i ?j(xi) ? k(x i)
i=0 j=0;一般,n < m,函数 ? 0,?1,…,?n,线性无关能保证
正规方程组的系数矩阵
? (? 0,? 0 )(?1,? 0 )…, (?n , ? 0 )
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