《现代控制理论第4章2》.ppt

现代控制理论第4章2;下面主要讨论非线性系统稳定性分析的两种方法 1、克拉索夫斯基法 2、变量梯度法;则系统在xe =0处是渐近稳定的充分条件是：下列矩阵;;;例：设系统的状态方程为;由塞尔维斯特准则有;关于定理的几点说明：;（3）线性系统是非线性系统的特例，该定理也适应于线性定常系统。;变量梯度法;2）向量的曲线积分;3）旋度方程;4）变量梯度法求李氏函数; 李氏函数的求取变成求一个合适的梯度向量?V。求取?V利用了以下两个条件：;总结上述分析，如果非线性系统的平衡状态xe是渐近稳定，变量梯度法确定李氏函数的步骤概括如下：;3）限定 是负定的或至少是负半定的，并用n(n-1)/2个旋度方程;例： 设非线性系统方程为;;（4）求出李氏函数;式中P为正定Hermite矩阵（如果 是实向量，且A是实矩阵，则P可取为正定的实对称矩阵）。;沿任一轨迹的时间导数为;因此，对于式(4.3）的系统，其渐近稳定的充分条件是Q正定。;定理4.9 线性定常系统 在平衡点 处渐近稳定的充要条件是：;现对该定理作以下几点说明：;则 沿任意轨迹不恒等于零。 ;(5) 为了确定矩阵P的各元素，可使矩阵 和矩阵 –Q 的各元素对应相等。为了确定矩阵P的各元素 将导致n(n-1)/2个线性方程。 如果用 表示矩阵A的特征值，则每个特征值的重数与特征方程根的重数是一致的，并且如果每两个根的和 则P的元素将唯一地被确定。 注意，如果矩阵A表示一个稳定系统，那么 的和总不等于零。;上式可写为;从方程组中解出 、 、 ，可得; 显然，P是正定的。;[例4.6] 试确定如图4.3所示系统的增益K的稳定范围。;[解] 容易确定系统的状态方程为;如果 恒等于零， 也必恒等于零，因为由式(4.6）可得;于是 只在原点处才恒等于零。因此，为了分析稳定性，可采用由式(4.7）定义的矩阵Q。;显然，对于 ，其秩为3。因此可选择这样的Q用于Lyapunov方程。 ;; 对P的各元素求解;对于线性定常系统，利用李亚普诺夫判据不但可以判断其原点平衡状态是否为渐近稳定，而且还可以对其自由运动趋向原点平衡状态的收敛快慢作出估计。 ;考察线性定常??治系统 ， ， (4.8）;(4.12);对线性定常系统，可以定出 随时间 的衰减上界。;4.5.2 计算 的关系式;证明（略）。;[例4.6] 设二阶线性定常系统的状态方程为;将矩阵方程展开，可得联立方程组为;;4.6 离散时间系统运动状态稳定性及其判据;? (iii) ?当时 ， 有 ;;则原点平衡状态即x=0为大范围渐近稳定。;由结论1，结论3得证。;线性定常离散系统李亚普诺夫稳定性分析;证明：设所选李氏函数为 v[x (k)]=x T (k) P x (k) 式中： P 为正定实对称矩阵。;因此，对于选定正定对称矩阵P，系统渐近稳定的充分条件是： Q为正定对称矩阵。;李氏方法判断系统稳定的一般步骤：;例：设离散系统的状态方程为 试确定系统在平衡点处渐近稳定的条件。;要使P正定对称矩阵，则要求;例：设离散系统的状态方程为 试确定系统在平衡点处渐近稳定的条件。;;;4.4 试写出下列系统的几个Lyapunov函数 并确定该系统原点的稳定性;下面做一些习题;4.1 试确定下列二次型是否为正定的。