常微分方程第六章考试卷.docx

常微第六章测验试卷（1） 姓名 班级 学号 得分 一、填空题（30分） 1、 若向量函数g（t; y）在域R上（），则方程组史=g（t; y ）?（to；to, y°） = y的 dt 解「存在且唯一。 2、 如果方程组的零解x =0稳定，且存在这样的'0 0，使当|x° ■■'I时满足 初始条件x to = Xo的解x（t）均有（）时，则称x = 0为渐进稳定。 3、 （）称为相平面。 4、 （）称为驻定方程组。 5、 满足（）的点（x*,y*），称为方程组的奇点。 6、 当方程组的特征方程有两个同号相异的特征根时，则当（ ）时，零解是 渐进稳定的，对应的奇点称为（）。当（）时，零解是不稳定的，对 应的奇点称为（）。 7、当方程组的特征方程的特征根为纯虚根时，则其结点称为（ ），在这种 （20 （20 分） 、求解题： 求方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性 1、2、dx dy dTy,d- 1、 2、 dx dy dTy,d -_2x _3y. dxdt 、求出方程组的奇点，并讨论相应的驻定解的稳定性态 （20 分） dxdt 心—）,齐珈2一3—） 四、用形如V（x, y）二ax2 by2的李雅普诺夫函数，确定下列方程组的稳定性（30 分） nCXI— ipAP 'X+X—H CXI A 0 .■ A| i I P I P II II II ■o I -o I CN 常微第六章测验试卷（1）参考答案 一、填空题 1、连续且关于y满足利普希兹条件 2、 lim x（t）二 0 t_ . 3、 如果把时间t当作参数，仅考虑x,y为坐标的欧氏空间 dd一 dd一dtw 一dt 、 4 = X(x,y) 二丫(x, y) 5、X(x,y) =0,Y(x, y)=0 6、 i, 2 ：:： 0 ；稳定结点；'1, ' 2 0 ；不稳定结点 7、中心；非渐进稳定的 、求解题： 求方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性 1、解：求奇点 1、解：求奇点: y =0 —2x _ 3y = 0 x = 0 得丿0 故奇点为(0,0) y = 0 0 1 A= =0+2 = 2“ -2 -3 —九 1 由 A —&E =0 得 =仇+1)仏+2) = 0 -2 _3_九 得到两个同号相异负实跟根，所以奇点为结点，零解是渐进稳定的 2、 2、解：求奇点: —x_y=0 _ 3x _ y = 0 121 1 2 1 故奇点为（舄） 1 1 现将原方程组作X=xp,jy匕的替换 空一X—Y dt dY.-3X -Y dt 故A- _1 _ & _1 _ & -1 -3 -1 -X =■2 2 -2 = 0 得、=-1 亠3,，2 = -1 ―占 这样就得到两个异号实根，所以奇点为鞍点，零解是不稳定的。 三、求出方程组的奇点，并讨论相应的驻定解的稳定性态 TOC \o "1-5" \h \z dx 2 一 =x — x - xy 1、解: 1、解: dy 1 3 1 2 一 = -y—-xy—-y d 2 4 4 『2小 x — x _ xy = 0 求奇点： 1 3 1 2 y xy y 2 4 4 得丿rX1y=0=0 得丿 r X1 y =0 =0， r X2 J2 =0 =2， X3 』3 =1 =0 r （1）当奇点为r1 1 =1,-2=2 所以奇点0,0为结点，零解是不稳定的。 y 所对应的线性方程的A二 TOC \o "1-5" \h \z dx 2 x- x - xy dt dy 3 1 3 1 x y xy y dt 2 2 4 4 1 0 所对应的线性方程的A=c 1 2 -0-1 -0 3 _2 -1A- E=0得01 -1 A- E =0得 0 1 2 二(_1 _ ‘)(_*_ ‘) =0 1 、--1,，2 --刁所以奇点0,2为结点，零解是渐进稳定的 当奇点为(1,0)时 先作变换X 先作变换X =x -1,^ y 方程(*)变为: ￡y討_令 ￡y討_令2 4 4 4 -1 -1 5 =0 dx 2 x — y — x - xy dt dy ? dt =(—1 /■■)( )=0 一1, 2 € 一1, 2 € 4 所以奇点1,0为鞍点，零解是不稳定的 四、用形如V(x, y) = ax2 by2的李雅普诺夫函数，确定下列方程组的稳定性。 1、解：理=卫生.卫业=2ax(-x xy2) 2by(-2x2y-y3) dt ex dt cy dt c 2 丄c 2 2 2 2 ? 4 --2ax 2ax y - 4bx y - 2by 1 2 1 2 取a=1,b二一贝U V=x -y 为定正的 2 2 型=-2x2 - y4 ::: 0为定负的 dt 所以零解稳定 2、 dV ；:V dx ：：