1-2-2-1-分数裂项.教师版.doc

分数裂项计算 教学目标 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分， 列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 知识点拨 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法 . 裂项分为分数裂项和整 数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的 观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂 的计算，一般都是中间部分消去的过程， 这样的话， 找到相邻两项的相似部分， 让它们消去才是最根本的。 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数， 即 1 形式的， 这里我们把较小的数写在前面， 即 a b ， a b 那么有 1 1 ( 1 1) a b b a a b (2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即： 1 n ( n 1) (n 1 n ( n 1) (n 1 n ( n 1) (n  ， 1 形式的，我们有： 2) ( n 1) ( n 2) ( n n 3) 1 1 1 ] 2) [ n (n 1) (n 1)(n 2 2) 2) (n 3) 1 [ (n 1 (n 1 ] 3 n 1) 2) (n 1) (n 2) (n 3) 裂差型裂项的三大关键特征： （ 1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的，复杂形式可为都是 x(x 为任意自然数 ) 的，但是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算。 （ 2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” （ 3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （ 1） a 2 2 2 2 b ab1 1 （ 2） a b a ba b a b a b a b b a a b a b a b b a 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的” ，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 例题精讲 【例 1】 1 1 1 1 1 。 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 【考点】分数裂项 【难度】 2 星 【题型】计算 【关键词】美国长岛，小学数学竞赛 【解析】 原式 1 1 1 1 L 1 1 1 1 5 1 2 2 3 5 6 1 6 6 提醒学生注意要乘以 ( 分母差 ) 分之一，如改为： 1 1 1 1 ，计算过程就要变为： 1 3 3 5 5 7 7 9 1 3 1 5 5 1 7 1 1 1 1 ． 1 3 7 9 1 9 2 【答案】 5 6 【巩固】 1 1 ...... 1 10 11 11 59 60 12 【考点】分数裂项 【难度】 2 星 【题型】计算 【解析】 原式 1 1 1 1 ) ...... 1 1 1 1 1 ( ) ( ( ) 10 60 12 10 11 11 12 59 60 【答案】 1 12 【巩固】 2 2 L 2 2 10 9 9 5 4 4 3 8 【考点】分数裂项 【难度】 2 星 【题型】计算 【解析】 原式 2 1 1 1 1 L 1 1 1 1 2 1 1 7 9 10 8 9 4 5 3 4 3 10 15 【答案】 7 15 【例2】 1 1 1 3 L L 1 2 1 100 11212 L 【考点】分数裂项 【难度】 3 星 【题型】计算 【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单 的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的 代入有 1 1 1 2 ， 1 (1 1 2 2 ， ， 1 (1 1) 1 2 1 2 2) 2 3 2 2 原式 2 2 2 L L 2 2 (1 1 ) 200 99 1 2 2 3 3 4 100 101 101 101 1 99 101 【答案】 1 101 【例 3】 1 1 1 L 1 1 3 3 5 5 7 99 101 【考点】分数裂项 【难度】 2 星 【题型】计算 【解析】 1 1 5 5 1 L 99 1 1 (1 1 1 1 1 1） 50 1 3 3 7 101 2 3 3 5 99 101 101 【答