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试卷第 =page 2 2页,总 =sectionpages 4 4页
2021届山东省高三上学期开学质量检测数学试题
一、单选题
1.设集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分别解出集合A,集合B以及集合B的补集,然后对集合A和集合B的补集取并集即可.
【详解】
集合,
或,
,则
故选:B
【点睛】
本题考查集合的并集补集运算,考查对数不等式和一元二次不等式的解法,属于基础题.
2.已知复数,为的共轭复数,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】求出,直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.
【详解】
.
故选:D.
【点睛】
本题考查复数的代数形式的四则运算,共轭复数,属于基础题目.
3.马林·梅森(MarinMersenne,1588-1648)是17世纪法国著名的数学家和修道士,也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物.梅森在欧几里得?费马等人研究的基础上对作了大量的计算?验证工作,人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如(其中是素数)的素数,称为梅森素数.在不超过40的素数中,随机选取两个不同的数,至少有一个为梅森素数的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】可知不超过40的素数有12个,梅森素数有3个,求出随机取两个数的种数,求出至少有一个为梅森素数的种数,即可得出概率.
【详解】
可知不超过40的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37共12个,
其中梅森素数有3,7,37共3个,
则在不超过40的素数中,随机选取两个不同的数共有种,
其中至少有一个为梅森素数有种,
所以至少有一个为梅森素数的概率是.
故选:A.
【点睛】
本题考查古典概型概率的求解,属于基础题.
4.已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩近似地服从正态分布,估计这些考生成绩落在的人数约为( )
(附:,则,)
A.36014 B.72027 C.108041 D.168222
【答案】B
【解析】由题可求出,,即可由此求出,进而求出成绩落在的人数.
【详解】
,,
,,
,
这些考生成绩落在的人数约为.
故选:B.
【点睛】
本题考查正态分布的相关概率计算,属于基础题.
5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题,现将1到1009这1009个数中,能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列,则该数列共有( )
A.100项 B.101项 C.102项 D.103项
【答案】B
【解析】先求出数列的通项公式,然后根据通项公式进行求解项数.
【详解】
因为能被2除余1且被5除余1的数就能被10整除余1,
所以按从小到大的顺序排成一列可得,
由,得,故此数列的项数为101.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式,熟记公式是求解的关键,属于容易题,侧重考查数学运算的核心素养.
6.已知中,,,,动点自点出发沿线段运动,到达点时停止,动点自点出发沿线段运动,到达点时停止,且动点的速度是动点的2倍.若二者同时出发,且一个点停止运动时,另一个点也停止,则该过程中的最大值是( )
A. B.4 C. D.23
【答案】C
【解析】由题意,,故,展开可得关于的一元二次函数,配方,即可求得的最大值.
【详解】
中,,,,
.
由题意,
,
当时, 取得最大值,最大值为.
故选:C.
【点睛】
本题考查平面向量的数量积,属于基础题.
7.已知直线恒在函数的图象的上方,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意构造新函数,然后利用导函数讨论函数的单调性,由函数的最值讨论计算即可确定的取值范围.
【详解】
很明显,
否则时,函数单调递减,且时,
而当时,不合题意,
时函数为常函数,
而当时,不合题意,
当时,构造函数,
由题意可知恒成立,注意到:,
据此可得,函数在区间上的单调递减,在区间上单调递增,
则:,
故,,
构造函数,则,还是在处取得极值,
结合题意可知:,即的取值范围是.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查导数研究函数的最值,导数研究函数的单调性,等价转化的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
8.已知,过定点的动直线和过定点的动直线交于点,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】动直线过定点,动直线过定点,且此两条直线垂直,因此点P在以AB为直径的圆上,设∠ABP=θ,则,θ∈[0
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