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倍长中线模型巩固练习(基础)
1. 如图,AD为△ABC的中线.
(1)求证:AB+AC>2AD.
(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.
【解答】(1)见解析;(2)1<AD<4
【解析】(1)证明:如图,延长AD至E,使DE=AD,连接BE,
∴AE=2AD.
∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,
在△BDE和△CDA中,,∴△BDE≌△CDA(SAS),∴BE=AC,
在△ABE中,AB+BE>AE,∴AB+AC>2AD;
(2)解:由①可知AE=2AD,BE=AC,
在△ABE中,AB-BE<AE<AB+BE,
∵AC=3,AB=5,∴5-3<AE<5+3,
∴2<2AD<8,∴1<AD<4.
2. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD.求证:AB=AC.
【解答】见解析
【解析】证明:如图,延长AD到E,使DE=AD,连接BE.
在△ADC和△EDB中,,∴△ADC≌△EDB(SAS),∴AC=EB,∠2=∠E,
∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∴∠1=∠E,
∴AB=BE,∴AB=AC.
3. 如图,CB是△AEC的中线,CD是△ABC的中线,且AB=AC.
求证:①CE=2CD;②CB平分∠DCE.
【解答】见解析
【解析】证明:如图,延长CD到F,使DF=CD,连接BF.
由题意可得CF=2CD,
∵CD是△ABC的中线,∴BD=AD,
在△BDF和△ADC中,,∴△BDF≌△ADC(SAS),∴BF=AC,∠3=∠A,
∵CB是△AEC的中线,∴BE=AB,
∵AC=AB,∴BE=AC,∴BE=BF,
∵∠CBE是△ABC的一个外角,∴∠CBE=∠BCA+∠A=∠BCA+∠3,
∵AC=AB,∴∠BCA=∠CBA,∴∠CBE=∠CBA+∠3=∠CBF,
在△CBE和△CBF中,,∴△CBE≌△CBF(SAS),
∴CE=CF,∠4=∠5,∴CE=2CD,∴CB平分∠DCE.
4. 如图,在△ABC中,D是BC边的中点,E是AD上一点,BE=AC,BE的延长线交AC于点F.求证:∠AEF=∠EAF.
【解答】见解析
【解析】证明:如图,延长AD到M,使DM=AD,连接BM.
∵D是BC边的中点,
∴BD=CD,
在△ADC和△MDB中,,∴△ADC≌△MDB(SAS),
∴∠CAD=∠M,AC=MB,
∵BE=AC,∴BE=MB,∴∠M=∠BEM,∴∠CAD=∠BEM,
∵∠AEF=∠BEM,∴∠CAD=∠AEF,即∠AEF=∠EAF.
5. 如图,在△ABC中,AD交BC于点D,点E是BC的中点,EF∥AD交CA的延长线于点F,交AB于点G,BG=CF.求证:AD为△ABC的角平分线.
【解答】见解析
【解析】证明:如图,延长FE到M,使EM=EF,连接BM.
∵点E是BC的中点,
∴BE=CE,
在△CFE和△BME中,,∴△CFE≌△BME(SAS),
∴CF=BM,∠F=∠M,
∵BG=CF,∴BG=BM,∴∠3=∠M,∴∠3=∠F,
∵AD∥EF,∴∠2=∠F,∠1=∠3,∴∠1=∠2,
即AD为△ABC的角平分线.
6. 如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,点F是CD的中点,且AF⊥AB,已知AD=2.7,AE=BE=5,求CE的长.
【解答】CE=2.3
【解析】如图,延长AF交BC的延长线于点G.
∵AD∥BC,∴∠3=∠G,
∵点F是CD的中点,∴DF=CF,
在△ADF和△GCF中,,∴△ADF≌△GCF(AAS),∴AD=CG,
∵AD=2.7,∴CG=2.7,
∵AE=BE,∴∠5=∠B,
∵AB⊥AF,∴∠4+∠5=90°,∠B+∠G=90°,
∴∠4=∠G,∴EG=AE=5,∴CE=EG-CG=5-2.7=2.3.
7. 如图,在正方形ABCD的边CB的延长线上取一点E,△FEB为等腰直角三角形,∠FEB=90°,连接FD,取FD的中点G,连接EG,CG.求证:EG=CG且EG⊥CG.
【解答】见解析
【解析】证明:如图,延长EG,交CD的延长线于M.
由题意,∠FEB=90°,∠DCB=90°,∴∠DCB+∠FEB=180°,
∴EF∥CD,∴∠FEG=∠M,
∵点G为FD中点,∴FG=DG,
在△FGE和△DGM中,,∴△FGE≌△DGM(AAS),
∴EF=MD,EG=MG,
∵△FEB是等腰直角三角形,∴EF=EB,∴BE=MD,
在正方形ABCD中,BC=CD,∴BE+BC=MD+CD,即EC=MC,
∴△ECM是等腰直角三角形,
∵EG=MG,∴EG⊥CG,∠ECG=∠MCG=45°,∴EG=CG.
8. 如图,△ABC与△BDE均为等腰直角三角形,BA⊥AC,ED
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