等腰三角形存在性巩固练习（基础）-冲刺2020年中考几何专项复习（解析版）.docxVIP

韩哥智慧之窗-精品文档 PAGE 1 韩哥智慧之窗-精品文档 等腰三角形存在性问题巩固练习（基础） 1．平面直角坐标系中，已知A（1，2）、B（3，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【解答】C 【解析】∵点A、B的坐标分别为（1，2）、B（3，0），∴AB＝， ①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有3个交点（B点除外），即（﹣1，0）、（0，）、（0，），即满足△ABC是等腰三角形的C点有3个； ②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个； ③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个． 综上所述：点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有7个． 2．在△ABC中，与∠A相邻的外角是130°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数是（　　） A．50° B．65° C．50°或65° D．50°或65°或80° 【解答】D 【解析】∠A＝180°﹣130°＝50°． 当AB＝AC时，∠B＝∠C＝（180°﹣50°）＝65°； 当BC＝BA时，∠A＝∠C＝70°，则∠B＝180°﹣50°﹣50°＝80°； 当CA＝CB时，∠A＝∠B＝50°． ∠B的度数为50°或65°或80°， 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在y轴上找一点P，使△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点共有　 　个． 【解答】4 【解析】①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P． ②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P． ③当AP＝BP时，在y轴上有一点满足条件的点P． 综上所述：符合条件的点P共有4个． 4．如图，在xOy中，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的C点有　 　个． 【解答】6 【解析】①当AB＝AC时，在y轴上有2点满足条件的点C，在x轴上有1点满足条件的点C． ②当AB＝BC时，在y轴上有1点满足条件的点C，在x轴上有2点满足条件的点C，有1点与AB＝AC时的x轴负半轴的点C重合． ③当AC＝BC时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点C，有1点与AB＝AC时的x轴负半轴的点C重合． 综上所述：符合条件的点C共有6个． 5．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，沿C→A→B→C的路径运动一周，且速度为每秒2cm，设运动时间为t秒，当t＝　 　时，点P与△ABC的某两个顶点构成等腰三角形． 【解答】当4或或或或3或时点P与△ABC的某两个顶点构成等腰三角形 【解析】∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm， ∴， 当点P在边AC上时，当PA＝PB时，如图， 作AB边上的高PE，则AE＝BE＝， 易证得△APE∽△ABC， ∴，即， ∴AP＝， 此时（4﹣）÷2＝（秒）； 当CP＝CB时， ∵CP＝3cm，此时t＝3÷2＝（秒）； 当点P在边AB上时， 当AC＝AP，此时（4+4）÷2＝4（秒）； 当AP＝PC时，如图， ∴点P在AC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点， 则AP＝AB＝，此时（4+2.5）÷2＝（秒） 当CP＝CB时，如图， 作AB边上的高CD， ∵AC×BC＝AB×CD． ∴CD＝， 在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP＝＝1.8， ∴BP＝2DP＝3.6， ∴AP＝1.4， ∴t＝（AC+AP）÷2＝（4+1.4）÷2＝（秒） 当BC＝BP时， ∴BP＝3cm，CA+AP＝4+5﹣3＝6（cm）， ∴t＝6÷2＝3（秒）； 当PB＝PC， ∴点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点， 此时CA+AP＝4+2.5＝6.5（cm）， t＝6.5÷2＝（秒）； 综上可知，当4或或或或3或时点P与△ABC的某两个顶点构成等腰三角形。 6．如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，且点A坐标为（4，4），P是y轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，求P点的坐标． 【解答】（0，8）或（0，）或（0，）或（0，4） 【解析】由题可知OA＝4，分两种情况进行讨论： （1）当OA为腰时，以O为圆心，OA为半径画弧交y轴于两点，即（0，），（0，）；以A圆心，OA为半径画弧交y轴于一点，即（0，8）． （2）当OA为底时，作线段OA的垂直平分线交y轴于一点，即（0，4）． ∴符合条件的点P有4个，坐标为（0，8）或（0，）或（0，）或（0，4）． 7．如图：已知在△ABC中，AD⊥BC于D，E是AB的中点， （1）求证：E点一定在AD