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二次函数综合练习题
1. 在平面直角坐标系xOy中,若点P的横坐标和纵坐标相等,则称点P为完美点.已知二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个完美点(,),且当0≤x≤m时,函数y=ax2+4x+c﹣(a≠0)的最小值为﹣3,最大值为1,则m的取值范围是( )
A.﹣1≤m≤0 B.2≤m< C.2≤m≤4 D.<m≤
2. 已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示,它与x轴、y轴的交点分别为A、B,点P是其对称轴x=1上的动点,根据图中提供的信息,给出以下结论:①2a+b=0;②x=3是ax2+bx+3=0的一个根;③△PAB周长的最小值是.其中正确的是( )
A.仅有①② B.仅有②③ C.仅有①③ D.①②③
3. 如图,抛物线交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C,分别过点B,C作y轴,x轴的平行线,两线交于点D,将△BDC绕点C逆时针旋转,使点D旋转到y轴上得到△FEC,连结BF.在线段BC上存在点P,使得以点P,A,B为顶点的三角形与△BOC相似,则点P的坐标为 .
4. 如图,已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),且与直线y=x﹣2交于B,C两点,若点N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M,若存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似.请求出点N的坐标 .
5. 已知抛物线y=ax2﹣2ax+c(a<0)的图象过点A(3,m).
(1)当a=﹣1,m=0时,求抛物线的顶点坐标 ;
(2)如图,直线l:y=kx+c(k<0)交抛物线于B,C两点,点Q(x,y)是抛物线上点B,C之间的一个动点,作QD⊥x轴交直线l于点D,作QE⊥y轴于点E,连接DE.设∠QED=β,当2≤x≤4时,β恰好满足30°≤β≤60°,a= .
6. 如图,抛物线y=﹣x2﹣2x+a(a≠0)与y轴相交于A点,顶点为M,直线分别与x轴、y轴相交于B、C两点,并且与直线MA相交于N点.
(1)若直线BC和抛物线有两个不同交点,求a的取值范围,并用a表示点M、A的坐标;
(2)将△NAC沿y轴翻折,若点N的对称点N′恰好落在抛物线上,AN′与抛物线的对称轴相交于点D,连接CD,求a的值及△N′CD的面积;
(3)在抛物线上是否存在点P,使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
7. 如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于A(﹣3,0)、B(1,0)两点,与y轴交于点C,抛物线的顶点为 D.
(1)求a、b之间的数量关系;
(2)求S△ADC:S△ABC的值;
(3)以OA为直径作⊙E,若∠ACD=90°,问:在y轴左侧的抛物线上是否存在点P,过点P作x轴的平行线与⊙E交于点M、N(M在N的左侧),与抛物线交于另一点Q,使得PM+QN=MN?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
8. 如图,已知二次函数y=ax2﹣8ax+6(a>0)的图象与x轴分别交于A、B两点,与y轴交于点C,点D在抛物线的对称轴上,且四边形ABDC为平行四边形.
(1)求此抛物线的对称轴,并确定此二次函数的表达式;
(2)点E为x轴下方抛物线上一点,若△ODE的面积为12,求点E的坐标;
(3)在(2)的条件下,设抛物线的顶点为M,点P是抛物线的对称轴上一动点,连接PE、EM,过点P作PE的垂线交抛物线于点Q,当∠PQE=∠EMP时,求点Q到抛物线的对称轴的距离.
9. 二次函数y1=ax2+bx﹣5与x轴交于A、D两点,D(5,0),与直线y2=2x﹣5交于B、E两点,点B在y轴上,E(6,n).
(1)求二次函数的解析式;
(2)在抛物线上有一点P,若△APE的面积为28,求点P的横坐标;
(3)点F在第四象限的抛物线上运动,连接AF,与直线BE交于点Q,连接BF,AB.设△ABQ的面积为S1,△FBQ的面积为S2,求的最大值.
10.如图,抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,已知A(﹣1,0),直线BC的解析式为,过点A作AD∥BC交抛物线于点D,点E为直线BC下方抛物线上一点,连接CD,DB,BE,CE.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求四边形DBEC面积的最大值,以及此时点E的坐标;
(3)点M为直线CD上一点,点N为抛物线上一点,若以B,C,M,N为顶点,以线段BC为边的四边形是平行四边形,求点M的坐标.
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