二次函数学习知识点总结.doc

二次函数知识点总结及相关典型题目 第一部分  二次函数基础知识 相关概念及定义 二次函数的概念：  一般地， 形如  y  ax  2  bx c （  a ，b  ，c  是常数，  a  0 ）的函数， 叫做二次函数。 这里需要强调： 和一元二次方程类似，  二次项系数  a  0 ，而  b  ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2 二次函数  y  ax  bx  c 的结构特征： x 的二次式，  x 的最高次数是  2．  b a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， 是一次项系数， c 是常数项．二次函数各种形式之间的变换 二次函数 y ax2 bx c 用配方法可化成： y a x h 2 k 的形式，其中 b ， k 4ac b2 h . 2a 4a ax2 ；② y ax 2 k ； 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① y ③ y a x h 2 ；④ y a x h 2 k ；⑤ y ax 2 bx c . 二次函数解析式的表示方法 一般式： y ax2 bx c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）； 2 顶点式： y a (x h) k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）； 两根式： y a (x x1 )( x x2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） . 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数 都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b2 4ac 0 时，抛物线的解析式 才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 . 二次函数 y ax2 的性质 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a 0 向上 0， 0 y 轴 x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值 0 ． x 0 时， y 随 x 的增大增大而减小； x 0 时， a 0 向下 0， 0 y 轴 y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值 0 ． 2 二次函数 y ax c 的性质 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质性质 a 0 0 ，c x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 向上 y 轴 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值 c ． a 0 向下 0 ， c y 轴 x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值 c ． 2 二次函数 y a x h 的性质： a 的符 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 号 a 0 向上 h ，0 X=h x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 0 ． a 0 向下 h ，0 X=h x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 0 ． 2 二次函数 y a x hk 的性质 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 a 0 向上 h ，k X=h x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ． x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随 a 0 向下 h ，k X=h x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ． 抛物线 y ax 2 bx c 的三要素：开口方向、对称轴、顶点 . 0 时，开口向 a 的符号决定抛物线的开口方向： 当 a 0 当 a 时，开口向上； 下； a 相等，抛物线的开口大小、形状相同 . 对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x b . 特别地， y 轴记作直线 x 0 . b2 2a b 4ac 顶点坐标坐标： （ ， ） 2a 4a a 相同，那么抛物 顶点决定抛物线的位置 . 几个不同的二次函数， 如果二次项系数 线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同 . 2 二次项系数 a 二次函数 y ax 2 bx c 中， a 作为二次项系数，显然a 0 ． ⑴ 当 a 0 时，抛物线开口向上， a 越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当 a 0 时，抛物线开口向下， a 越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大． 总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决 定开口的大 小