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一、奇数与偶数
一、新 学 :
1.奇数和偶数
整数可以分成奇数和偶数两大 .能被 2 整除的数叫做偶数,不能被 2 整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用 2k(k 整数)表示,奇数 可以用 2k+1(k 整数)表示。特 注意,因 0 能被 2 整除,所以 0 是偶数。
2.奇数与偶数的运算性
性 1:偶数 ±偶数 =偶数,奇数 ±奇数 =偶数。
性 2:偶数 ±奇数 =奇数。
性 3:偶数个奇数相加得偶数。
性 4:奇数个奇数相加得奇数。
性 5:偶数 ×奇数 =偶数,奇数 ×奇数 =奇数。
利用奇数与偶数的 些性 ,我 可以精巧地解决 多 .
二、例
例 11+2+3+?+1993的和是奇数? 是偶数?
例 2 一个数分 与另外两个相 奇数相乘,所得的两个 相差
150, 个数
是多少?例 3 元旦前夕,同学 相互送 年卡 .每人只要接到 方 年卡就一定回 年卡,那么送了奇数 年卡的人数是奇数, 是偶数? 什么?
例 4 已知 a、b、c 中有一个是 5,一个是 6,一个是 7.求 a-1,b-2,c-3的乘 一定是偶数。
例 5 任意改 某一个三位数的各位数字的 序得到一个新数 . 新数与原数之和不能等于 999。
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例 7
桌上有 9 只杯子,全部口朝上,每次将其中 6
只同时 “翻转 ”请.说明:
无论经过多少次这样的 “翻转 ”,都不能使 9 只杯子全部口朝下。
例 8
假设 n 盏有拉线开关的灯亮着,规定每次拉动(
n-1)个开关,能否把
所有的灯都关上?请证明此结论,或给出一种关灯的办法。
例 9 在圆周上有 1987 个珠子,给每一珠子染两次颜色,或两次全红,或两次全蓝,或一次红、一次蓝 .最后统计有 1987 次染红, 1987 次染蓝 .求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。例 10 某校六年级学生参加区数学竞赛,试题
共 40 道,评分标准是:答对一题给 3 分,答错一题倒扣 1 分.某题不答给 1 分,请说明该校六年级参赛学生得分总和一定是偶数。
例 12 某学校一年级一班共有 25 名同学,教室座位恰好排成 5 行,每行 5 个座位 .把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的邻位 .问:让这 25 个学生都离开原座位坐到原座位的邻位,是否可行?
例 13 在中国象棋盘任意取定的一个位置上放置着一颗棋子 “马”,按中国象棋的走法,当棋盘上没有其他棋子时,这只 “马”跳了若干步后回到原处,问:“马”所跳的步数是奇数还是偶数?
例 14 线段 AB 有两个端点,一个端点染红色,另一个端点染蓝色 .在这个 AB
线段中间插入 n 个交点,或染红色,或染蓝色,得到 n+1 条小线段(不重叠的线段) .试证:两个端点例外色的小线段的条数一定是奇数。三、练习题
1.有 100 个自然数,它们的和是偶数 .在这 100 个自然数中,奇数的个数比偶数的个数多 .问:这些数中至多有多少个偶数?
2.有一串数,最前面的四个数依次是 1、9、8、7.从第五个数起,每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字 .问:在这一串数中,会依次出现 1、9、8、8 这四个数吗?
3.求证:四个持续奇数的和一定是 8 的倍数。
4.把任意 6 个整数分别填入右图中的 6 个小方格内,试说明一定有一个矩形,它的四个角上四个小方格中的四个数之和为偶数。 5.如果两个人通一次电
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话,每人都记通话一次,在 24 小时以内,全世界通话次数是奇数的那些人的总数为 ____。
( A)必为奇数,( B)必为偶数,( C)可能是奇数,也可能是偶数。
6.一次宴会上,客人们相互握手 .问握手次数是奇数的那些人的总人数是奇数还是偶数。
7.有 12 张卡片,其中有 3 张上面写着 1,有 3 张上面写着 3,有 3 张上面写
着 5,有 3 张上面写着 7。你能否从中选出五张,使它们上面的数字和为 20?为
什么?
8.有 10 只杯子全部口朝下放在盘子里 .你能否每次翻动 4 只杯子,经过若干次翻动后将杯子全部翻成口朝上?
9.电影厅每排有 19 个座位,共 23 排,要求每一观众都仅和它邻近(即前、后、左、右)一人交换位置 .问:这种交换方法是否可行?
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